1. 集合的含义及其表示(一)集合元素的互异性1•已知x R，则集合{3,X,X22x}中元素X所应满足的条件为变式：已知集合A {a 2,(a 1)2,a2 3a 3}，若1 A，则实数a的值为_________________2. M a，b,c中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形(二)集合的表示方法1. 用列举法表示下列集合(“ A {x|x旦凹,a,b为非零实数}a b变式：已知a,b,c为非零实数，则2 A A 旦0的值组成的集合为|a| |b| |c| |abc| —(2) _________________________ A {(x,y)|y ——乙x N*} A {(1,3),(2,6),(4, 6),(5, 3),(6, 2),(9, 1)}3 x12变式1： A x x N,—— N6 x变式2： A x, yxy6,xN,yN(3)集合A {x|x乙2 x 2}, B {y| y x2,x A},用列举法表示集合B(4)已知集合M=a Z|旦 N*}，则集合M中的元素为5 a变式：已知集合M=-^ Z |a N*}，贝卩集合M中的元素为5 a2. 用描述法表示下列集合(1)直角坐标系中坐标轴上的点__________________________________变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点 ________________ (x,y)y x,x R(2)能被 3 整除的整数 ________________________ x 3n,n Z .3. 已知集合 A 0, , B xx A , C xx A(1) 用列举法写出集合B,C ;( 2)研究集合代B,C之间的包含或属于关系4. 命题（1）0 X20 ；（2）0 0,0 ；（3）0 ；⑷0 N表述正确的是.5. 使用和和数集符号来替代下列自然语言：（1）“255是正整数” （2）“2的平方根不是有理数”（3）“3.1416是正有理数” （4）“-1是整数”（5）“ x不是实数”6. 用列举法表示下列集合：（1）不超过30的素数（2）五边形ABCDE的对角线（3）左右对称的大写英文字母（4）60的正约数7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E，A E,B E（1）平面上以A为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为 ________ P EPA 5（2）说明下列集合的几何意义：P EPA 5 ；P E PA PB8. 当a,b满足什么条件时，集合xax b 0是有限集？无限集？空集？9. 元素0、空集、0、三者的区别？10. 请用描述法写出一些集合A，使它满足：（i ）集合A为单元素集，即A中只含有一个元素；（ii）集合A只含有两个元素；（iii ）集合A为空集11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。
先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。
设地球上古往今来的鸡组成一个集合J ,孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢？这是关键问题。
设所有的鸡蛋组成集合D，要确定D的元素, 就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。
如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。
至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。
(三)空集的性质1•若？^{x|x2W J, a € R}，则实数a的取值范围是__________2. 已知a是实数，若集合{ x|ax= 1}是任何集合的子集，则a的值是____________ .03. 下列三个集合中表示空集的是2 2 2(1) {0} ；(2){( x,y)| y=-x,x € R y € F} ; (3){ x€ N|2 x +3x-2=0}.变式1：若集合A {y |y x}, B {x| y 41—},则A B = ____________________变式2：若集合 A 1,0,1 , B y|y cos( x), x A，则AI B ___________________ 1, 1(四)集合相等1. 已知集合A=a,b,1 , B=a2,a b,0，若A=B 则a2004 b2003 _______________a2. 已知集合A 1,1 x,1 2x，集合B 1,y,y2，且A B，求实数x和y的值.3. 已知 A { 2,2010, x2 1}, B {0, 2010, x2 3x},且A B，贝卩X 的值为______________4. 已知A= {x，xy，lg(xy)}，B = {0，|x|，y}，且A= B，试求x，y 的值.5. 已知集合P 1,1 d,1 2d ,Q 1,q,q2,且P Q，贝S d __,q __6. 两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：(1)用列举法分别写出下列集合：A a Z 2 a 4 ; B b Z 2 b 4(2)请你判断两集合A和集合B是否相等？2. 集合方程问题1. 若集合 A x | ax2bx 1 0,x R(1)若A 1,1，求a,b的值；(2)若A 1，求a,b的值2. 若集合{x|ax2 x 1 0}有且只有一个元素，则实数a的取值集合为.3. 设y x2 ax b, A x y x a，求a, b.4. 已知集合A xax2 2x 1 0,x R , a为实数.(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值；(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.5. 已知集合A a关于x的方程-一4 1有惟一解，用列举法表示集合A为.x a变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？3. 子集、全集、补集1. 集合A { x | kx 1 0}，集合B {x | x k 0},若A B , k的取值集合为___________________• • • •2. 设集合U={( x, y)| y=3x—1}, A={( x, y)| 口=3}，则C U A=.x 13. M={x| 2< x< 5},N={x|a+1 < x< 2a 1}.若M N,实数a 的取值范围为.4. 若 A xx22(a 1)x a21 0 , B={x|x -4x=0} , C={x|x -8x+16=0}，若 A B U C,求实数a的取值范围5. A {xx 1或x 2} , B {x4x a 0}，当B A时，实数a的取值范围为___________________6. 已知集合A {x1 ax 2} , B {*|x 1}，满足A B，则实数a的取值范围为_______________变式：已知集合A x 0 ax 1 5，集合B x 1x 22(1)若A B，求实数a的取值范围(2)若B A，求实数a的取值范围(3)A B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由7. 已知集合M x|3a 1 x 2a , N x| 1 x 3，若N C R M，实数a的取值范围为8. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A B {2}, (C U A)(久B) {1,9},(C U A) B {4,6,8}，贝y A , B .9. 设U R，集合 A x| x23x 2 0 , B x| x2(m 1)x m 0 ,若10. 已知全集U {0,1,2,3}，若C u M {1,3,a2 a},则a的值为__________________11. 若集合A {x|0 x 2}.分别求出当全集为下列集合时的$A.(1) U R; (2) U {x|x 1} ; (3) U {x|0 x 3}.12. 若集合M {xx2x 6 0} , N {x(x 2)(x a) 0}，且N M，则实数 a 的值为_______13. 已知集合A {246,8,9}，B {1,2,3,5,8}，是否存在集合C,使C中的每个元素加上2就变成了A的一个子集，且C中的每个元素减去2就变成了B的一个子集？若存在，求出集合C ;若不存在，说明理由14. U {1,2}，A {xx2px q 0}，QA {1}，则p q ____________________15. 写出满足条件{a} M {a，b，c，d}的集合M16. 已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，求B=17. 设集合A 1,2,3,4,5,6 , B 4,5,6,7 ,贝卩满足S A且SI B 的集合S的个数为562 218. 已知集合A x x px q 0 , B x qx px 1 0同时满足：AI B ,-2 A，求实数p,q的值.5解：两式相减，得p ,q 1或p 1,q 2或p 3,q 2219. 已知集合A y y 2x 1,0 x 1 ,B x (x a) x (a 3) 0 ，分别根据下列条件，求实数a的取值范围.(1) AI B A; (2) AI B (1) -2,-1 ; (2) -4,120. A x a^-4 0 ， B xx24x 3 0，C x2x2mx 8 0x a1(1)若3 A，求a的取值范围；(2)若4A，求a的取值范围;(3)若B C C，求m的取值范围.(4)若B C ，求m的取值范围21. 有限集中有一个特殊的集合，约定“空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？任何一个约定式定义，它必须遵循：①规定的必要性；②规定的合理性。
（1）必要性：从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。
为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；（2）合理性：由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的“任何一个集合”，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立，这就是约定的合理性。
22. 请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例; 若不存在，请说明理由。
A , B 1, 1等等；【拓展思考】请你给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，可以只含有这两个元素吗？ C 1,2, 1,2 ；可以，集合D ,23. 元素和相等的子集（i）设集合M 134,6,8,9 ,是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？（ii）在1~9这9个数字中任取6个不同的数组成集合M ,请问符合条件（1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？【拓展思考】若将集合M的元素个数变为7~9种的任一个，结论如何？24. 与其子集元素个数一样多的集合是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？【拓展思考】请你写出几个符合条件的无限集25. 约数集的个数设非空集合S N，且满足条件“如果x S，那么些S ”x（i ）请你写出一个只含有一个元素的集合S ；（ii ）只含有三个元素的集合S只有是否唯一？若不唯一，请写出两个不同的集合（iii ）满足题设的集合S共有几个？（iV）对非空集合S N，若使集合S所含元素的个数不超过四个，那么题设条件可以改为______________________________1. 已知 A x y 4X1 ,B y y 2x 1,x R，贝卩AI B ________________________变式1：若集合M {y|y 2x}, P {y|y x 1}，则MH P=：2. 设集合 A {x|x 1 0 或x 4 0}, B {x|2a x a 2}(1)若AI B ，则实数a的取值范围为__________________(2)若AI B B，则实数a的取值范围为 ________________3. 已知集合A={x|y 1 x2,x Z} , B {y| y 2x 1,x A},则 A B =4. 已知集合A x a 1 x a 4 , B x x 2或x 5，全集U R(1)若AI B ,求实数a的取值范围(2)若A^C u B，求实数a的取值范围5. 集合 A x|x2ax a219 0 , B x|x25x 6 0 , C x|x22x 8 0满足AI B , , AI C ,实数a的值为6. 已知全集U x|0 x 9 ,A x|1 x a ,若非空集合A U，则实数a的取值范围是7. 若集合 A {x 2 x 1 或x 1} , B {xa x b}，且 A B {xx 2},A B {x1 x 3}，贝S a __________________ , b _____________8. 已知集合A {xx a}, B {x1 x 2}，且AU(C R B) R，则实数a的取值范围是9. 已知非空集合A= {x | 2a+ 1<x<3a—5} , B= {x | 3<x<22}，则能使A (A H B)成立的所有a值的集合是10. 已知 A={a i , a ?, a 3, a 4}, B={a 2，a ；,a ；,a ：}，其中 a i <a 2<a 3<a 4, a i , a ?, a 3, ◎€ N,若A A B={a i , a 4} , a i +a 4=10,且A U B 所有元素和为124,则集合A=B=11.设集合A 直线,B 圆，则A B 的元素个数为12.设集合 A xx 2 4a (a 4)x,a R , B xx 2 4 5x (1)若A B A ，求实数a 的值(2)求A的整数对(a,b)的个数为11 217. 设 A {2, — 1, a 2 — a +1}, B {b ,7, a +1}, M {— 1,7} , A A B19. 集合 A {x|log 1 x 2} , B220. 已知全集U = R ，则正确表示集合 M = { — 1,0,1}和N = {x|x 2 + x = 0}关系的韦恩(Venn)图是 ________ .21.已知集合 M = {0,1,2} , N = {x|x = 2a , a € M}，则集合 M A N = ________ .22.(2009年高考江西卷改编)已知全集U = A U B 中有m 个元素，(?u A) U (?U B )中有n 个元素.若A A B 非空，则A AB 的元素个数为 _________ .23.已知函数f(x)=的定义域为集合 A ，函数g(x)= lg( — x 2 + 2x + m)的定义域为集合B. (1 )当m = 3时，求A A(R B)； (2)若APB = {x|— 1<x<4}，求实数m 的值.24.已知集合 A = {x € R|ax 2— 3x + 2 = 0}.13.如图，U 是全集，M P 、S 是U 的3个子 集，则阴影部分所表示的集合是 14.若全集IR, f(x)与g(x)都为二次函数,Q xg(x) 0，则不等式g ((：; 0的解集可用P,Q表示为15.已知集合 A 2, 1 , B 1,2 ，则 AUB16.若集合P {x|2x a 0}， Q{x|3x b0}, a,b N ，且PI QI N {1}，则满足条件变式：已知集合A = x|2x 5 3x 15,B2x 2a ,且 A B 只有5个整数解,则a 的取值范围是(1)设全集U A ，求C U M ;(2)若a N ,求a 和b 的值.18.集合 M a,0 , Nx 2x 23x 0,x Z ，如果 MIN ，则(a,)，若A B A 时a 的取值范围是(c,)，则c =P xf(x) 0 ,(1 )若A = ?，求实数a的取值范围；(2 )若A是单元素集，求a的值及集合A;(3)求集合M = {a€ R|A老}.25. 设集合 A {x|x2 3x 2 0}, B {x | x22(a 1)x (a25) 0}(1)若A B 2，求实数a的值；(2)若A B A，求实数a的取值范围；(3)若U R,A C U B A，求实数a的取值范围解：(1) a 3,a 1 ； ( 2) a 3(3) a 3或 a 1 或 a 1 +、、3 或 a 1 ,326. 集合P xx2 25 0 ,Q xx 2n 1,n Z ,若S P且S Q,则S的子集个数最多为________ 1627. M x x N,——N ,Q x x ——,tN,xN,则MIQ _________________________ 1,21 x 1 t28. 已知 A N* , B x2x x23 0 ,贝U C U B A _________________29. 设方程2x 3y 7的全体解组成集合U，方程3x y 5的全体解组成集合V,则U和V 分别如何用集合表示？则U V (2,1)30. 设M 直线AB上的点，N 直线CD上的点，若直线AB,CD交于点P ,则M N P ;若AB//CD，则M N ；还有其它情况吗？31. 方程x2 9 0的解集为A 3,-3，方程x2 3x 2 0的解集为B 1,2。