《平方根》
◆教材分析
“平方根”是“实数”的第一节内容。

由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。

运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善。

因此，本节课是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。

◆教学目标
【知识与能力目标】
1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
2.根据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非正负数的算术平方根.
3.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算.
4.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系.
【过程与方法目标】
1经历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高学生逆向思维方法.
2经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养学生求同和求异的思维方法，能从相似的事件中找到它们的共同点和不同点.
【情感态度价值观目标】
学生动脑、动口，积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲. 【教学重点】
1了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.
2了解平方根、开平方的概念，会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平方根与平方根. 3平方根与算术平方根的区别和联系.
【教学难点】
1理解算术平方根的概念、性质．
2平方根与算术平方根的区别和联系.
3负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算.
一、创设情境，引出课题
上节课我们学习了无理数、 了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a 2=2中，2是有理数，而a 是无理数.在前面我们学过若x 2=a ，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.
【教学说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平方根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识.
二、探索新知
算术平方根的概念和求法.
下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
◆ 教学过程
◆ 教学重难点
◆
x2= ，y2= ，z2= ，w2=
请大家分析一下，x、y、z、w中哪些是有理数？哪些是无理数？
【教学说明】回忆勾股定理得到一个数的平方是一个正数，为下面给出算术平方根的概念作了开端.
【归纳结论】因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x、y、w不是有理数，
而是无理数，即，.因为22=4.所以z=2，是有理数.
若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为”
读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0=0.
下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.
例1求下列各数的算术平方根：
（1）900；（2）1；（3）49/64；（4）14.
通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？
【教学说明】学生很容易看出一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，有利于对算术平方根概念的理解.
【答案】解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30；（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；（3）因为（7/8）2=49/64，所以49/64的算术平
方根是7/8；（4）14.
【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.
运用新知，深化理解
1.填空题.
（1，则这个数是. （2）49的算术平方根是.
（3）正数的平方为144/25，
7
1
9
的算术平方根为.
（4）（-1.44）2的算术平方根为.
（5的算术平方根为，= 2.求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：
（1）（7.4）2；（2）(-3.9)2；（3）2.25；（4）
1
2
4
.
3.自由下落的物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=
4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
【教学说明】学生独立完成，加深对算术平方根概念的理解，强化了算术平方根的求法和表示方法.
【答案】1.（1）5；（2）2/3；（3）12/5，4/3；（4）1.44；（5）3，0.2.
2.（1=7.4；（2=
3.9；=1.5；（4=3/2.
3.解：将h=19.6代入公式h=
4.9t2得t2=4，所以=2（秒）
即铁球到达地面需要2秒.
平方根
在我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x
叫a的算术平方根，记作，而且a也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是（-2）2=4，则-2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.
【教学说明】通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引出还有一个负数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心理准备.
思考探究，获取新知
1.平方根、开平方的概念
请大家思考两个问题.
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于4/25的数有几个？平方等于0.64的数呢？
【教学说明】学生很容易看出有正负两个数的平方为一个正数，让他们对平方根的概念有了初步认识.
【归纳结论】3的平方等于9，-3的平方也等于9，3是9的算术平方根，-3是9的平方根.平方等于4/25的数有两个，即2/5和-2/5，平方等于0.64的数也有两个，即0.8和-0.8.
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根（square root），也叫二次方根，3和-3的平方都等于9，由定义可知3和-3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和-3，9的算术平方根只有一个是3.
由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？
【教学说明】让学生找出平方根和算术平方根的相同点与不同点，对于正确理解两个不同的概念和学生准确解题很有帮助.
【归纳结论】联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
（3）0的平方根、算术平方根都是0.
区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
（3）表示法不同：正数a a
（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.
什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系？
【教学说明】使学生明白加与减、乘与除、平方与开平方都是互为逆运算.
平方根的性质
请大家思考下面的问题：
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
【教学说明】通过前面的学习，学生不难得出一个正数有两个平方根，且它们互为相反
数；0有一个平方根是0；负数没有平方根，加深对平方根概念的理解.
【教学说明】由平方根的定义，学生不难得出结果，对于平方根的求法再次加深，以达到熟练运用.
运用新知，深化理解
1.求下列各数的平方根.
1.44，0，8，100/49，441，196，10-4
2.填空
（1）25的平方根是；
（2）（-5）2= ；
（3）（5）2= .
3.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.
（1）（-3）2；（2）0；（3）-0.01；（4）-52；（5）-a2；（6）a2-2a+2
【教学说明】学生自主完成，加深对平方根概念的理解和检测学生对平方根求法的掌握情况，及时点拨，得以强化.
【答案】1.±1.2，0
，±，±10
7
，±21，±14，±
1
100
2.（1）±5，（2）5，（3）5
3.有平方根的是：（-3）2，0，a2-2a+2，因为它们都是非负数；-0.01，-52没有平方根，因为它们都是负数；-a2，只有当a=0时它才有平方根.
三、归纳总结：
1. 本节课你学习了哪些新知识？还有什么困难？请与同学们交流.
师生共同回顾平方根和开平方的概念以及只有非负数才有平方根.
2.本节课你有哪些收获？还存在哪些不足？
【教学说明】引导学生回顾知识点，找出它们之间的联系与区别以及学习过程中存在的不足，便于进一步深化和查漏补缺.
略
◆教学反思。