四、截面法
对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点法 不能求出全部杆件的轴力，因为总会遇到有三 个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截面 法求解。即使在简单桁架中，求指定杆的轴力 用截面法也比较方便。 截面法选取的隔离体包含两个或两个以上的 结点，隔离体上的力系是平面力系，可以建立 三个平衡方程∑Fx＝0、 ∑Fy＝0、 ∑M＝0。所以 作一个截面隔离体最多可以求出三个未知轴力 。
5
取截面I－I以左为隔离体：
∑F
y
=0
( Fy 2 = − FP )
5 2
FP C 0 0 0 a a
1
FP I 1 2 a
Fy 3 − Fy 2 − 2 FP + 2.5 FP = 0 Fy 3 = −1.5 FP Fx 3 = Fy 3 / 2 = −0.75 FP
0 A 2.5FP
3 a D 4 I
17
荷载为零而内力不全为零的内力状态称为自 内力。 如果某体系存在自内力，则该体系为几何可 变体系。 零载法把几何构造问题转化为静力平衡问题。
18
例3-4-6 用零载法检验下图示桁架是否几何不变。 0 0 D x C x B x 0 0 a） 0 0 I b）
19
2 x 2 E
1 x 2 F 2 x 2 A
0 0 a
3 a D 4 I
7
取截面I－I以左 为隔离体：
FP C 0 0 0 a a
FP I 1 2 a
5 2
0 A
3 a D 4 I
1
∑F
x
=0
2.5FP
FN 1 + FN 4 + Fx 3 + Fx 2 = 0 FN 1 = −(2.75 FP − 0.75 FP − 0.5 FP ) = −1.5 FP (压)
1
对于联合桁架，应首先切断联系杆。 现在介绍截面单杆的概念。如果在某个截面所 截的轴力均在未知的各杆中，除某一杆外其余各 杆都交于一点(或彼此平行 交点在无穷远处)， 则该杆称为该截面的单杆。关于截面单杆有下列 两种情况： 1) 截面只截断彼此不交于同一点(或不彼此平 行)的三根杆件，则其中每一根杆件均为单杆。 2) 截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余 各杆都交于同一点(或都彼此平行)，则此杆也是 单杆。
FN 3
5 l = Fy 3 = −1.5 FP 2 ly = −1.68 FP (压)
6
∑M
C
=0
5 2
FP C
1
FP I 0 1 2 a
1 = (2.5 FP × 2a − FP × a FN 4 2a + 0.75FP × 2a ) 5.5FP a = = 2.75FP (拉) 2a
0 A 2.5FP a
27
E 16kN
各柱上端弯矩为：
M CA = 8kN .m(右拉) M EF = 4kN .m(左拉) M HK = 4kN .m(右拉)
24
28
24 C 8 B 6 A 8 D 4
28 4 E F G K 8 H
M 图（kN·m）
28
3) 作FQ 图 杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本 题剪力很容易用投影方程求得。下面以EH杆为例 说明用力矩方程求剪力的方法。 取右图示EH杆为隔离体：
13
a a
FP 0 0 C I a a
结点C位于对称轴上，所以两 斜杆轴力等于零，见右图。
0
结点D
′1 FN
D 0 FP /2 I 0 A FP a I
14
′ 1 FP 2 = FN ∑ Fy 0=
取截面I－I以左为隔离体：
∑F
y
=0
1 D FP/2 0
a a
Fy′2 + FP − 0.5 FP = 0 Fy′2 = −0.5 FP 2 ′2 = − FN FP 2
16
四、零载法
零载法是针对W＝0的体系，用静力法来研究 几何问题，用平衡方程解答的唯一性来检验体系 几何不变性的方法。 对于W＝0的体系，其静力特征为： 如体系几何不变(静定结构)，则满足平衡方程 的解答是唯一正确的解答。若荷载为零，则内力 全为零。 如体系几何可变或瞬变，则只有在特殊荷载作 用下平衡方程才有解，而且其解答必定不是唯一 解。若荷载为零，其某些内力可能不为零。
2m
I
B 2m 60kN
9
2) 求FN1、FN2
结点B FNBE FNBC B 60kN
∑F
y
= 0 0
FyBE = −60kN FxBE = −60kN FNBC + FxBE = 0 FNBC = − FxBE = 60kN (拉)
F ∑=
x
取截面I－I以左为隔离体
∑MD = 0
FN = 2 1 (−60 × 2
30
D
E 2 16 F 2
H
1 K
4) 作FN图 各杆轴力可以用投影方程求解。根据剪力图， 取各刚结点为隔离体，用投影方程求轴力。 0 16 1 1 1 0 -30 E -1 2 -2
31
14
2 -1 H 1
C
1 C D E 1 30 A G FN图（kN）
H
2 K
32
例3-3-2 作图示三铰刚架内力图。 D C q 3ql/8 ql/8 A
I
D FN2 2m
80kN 2 2 − 60 × 2 + 80 × 2) A 2m −80 = = −28.28kN (压) 60kN 2 2
C 60kN I 2m 2m
10
取截面II－II以右为隔 离体：
F
II
FN1
80kN G 2m 2m
∑M
F
=0
1 (20 2 × 4 2) Fy1 = 4 = 40kN 2 56.57 kN (拉) FN 1 40 = =
0 A 2.5FP a
0 0
解： 1）对称结构对称荷载，支座反力如图示。 2）零杆如图示。
4
3）求轴力FN1、FN2、FN3、FN4。 结点C C FP FN1
5
1 2
∑F
y
=0
FN2
Fy 2 + FP = 0 Fy 2 = − FP FN 2
Fx 2 = −0.5 FP
5 = − FP ⋅ = −1.118 FP (压） 2
∑M
H
=0
28kN·m E
4kN/m 4kN·m H FQHE 4m
FQEH= (28 + 4 × 4 × 2 − 4) / 4 = (56) = / 4 14kN
FQEH
∑ME = 0
FQHE= (28 − 4 × 4 × 2 − 4) / 4 = −2kN (−8) / 4 =
29
14 C 1 B 3 A G FQ图（kN）
M EH =1× 4 + 4 × 4 × 2 − 2 × 4 = 36 − 8 = 28kN .m(上拉)
4m
MEH 14kN
4m
K 1kN 2kN
26
取右图示DE部分为隔离体：
∑M
E
=0
8kN D
M ED = 8 × 2 + 4 × 2 × 1 = 16 + 8 = 24kN .m(上拉)
4kN/m MED 2m E 4
20 2kN
E
II
2m
2m B
2m
2m
11
例3-4-5
求FN1、FN2 。 1 D FP a 2 C B FP a a a a
A
a
解： 复杂桁架，结构对称。将荷载分为对称和反对 称两种情况求解。
12
1）对称结构对称荷载 E I 0 A FP 1 D FP/2 a 2
F 0 B FP/2 FP a 0 C
0
解： 荷载为零，所以支座反力 为零，且可判断4根零杆如图 a)示，余下部分见图b) 。在图 b)中，令AB杆轴力为x，按照 B，C，D，E，F的顺序用结 点法求得杆件的轴力见图b)。 取结点A的隔离体如图c)所示：
s
x 2 x 2 A FNAI c）
x－x/2＝0 x＝0 ∑FS＝0 于是可得全部杆件的轴力均为零，因此为几 何不变体系。 上面采用的方法称为初参数法或通路法。通 路法是解复杂桁架的一种有效方法。
2
1
1 1 1 2 3 2
1 3 2
1 3
上列各图中，杆1，2，3均为截面单杆。 截面单杆的性质：截面单杆的轴力可根据截面隔 离体的平衡条件直接求出。
3
例3-4-3
用截面法求轴力FN1、FN2、FN3、FN4。 FP FP I FP C E 1 0 2 3 D 4 I a a FP 0 0 a a 0 a FP a a B 2.5FP
20
§3-4 静定平面刚架受力分析
一、基本概念
平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结 点相连接。 刚结点有如下特征： 几何特征——一个简单刚结点相当于三个约 束，能减少体系三个自由度。 变形特征——在刚结点处，各杆端截面有相 同的线位移及角位移。 静力特征——刚结点能传递弯矩、剪力和轴 力。
21
12kN·m A A′ α 5kN·m α A 17kN·m 8kN·m B 8kN·m 8 17
F 0 ∑= ∑M = 0 ∑F = 0
x K y
= F 1kN (←) xK FyG = (−4 × 2 + 4 × 8 × 4) / 4 = 30kN (↑) FyK = 32 − 30 = 2kN (↑)
25
2m
2m
2) 作M图 取右图示EHK部分为隔离体： E 1kN
4kN/m H
∑M
E
=0
由整体平衡：