2019年高三文科数学小题狂练：解三角形专练（解析附后）1．[2018·白城十四中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，60B =︒，4a =，其面积S =则c =（）A ．15B ．16C ．20D ．2．[2018·东师附中]在ABC △中，1a =，π6A ∠=，π4B ∠=，则c =（）A B C D 3．[2018·长春质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 2b a Cc =+，则角A 为（） A ．60︒B ．120︒C ．45︒D ．135︒4．[2018·大庆实验]ABC △中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 其面积2224a b c S +-=，则中C 的大小是（） A ．30︒B ．90︒C ．45︒D ．135︒5．[2018·银川一中]已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC △的外接圆面积为（） A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π6．[2018·黄冈模拟]如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ， 测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为（）A ．B ．C ．D m7．[2018·长春实验]在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，若cos 4cos a C c A =-，π3B =，a =，则cos C =（）A ．14B C D 8．[2018·莆田一中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b B a C c A =+，若b =a c +的最大值为（）A ．B ．3C ．32D ．99．[2018·重庆期中]在ABC △中，若22tan tan A a B b=，则ABC △的形状是（） A ．等腰或直角三角形 B ．直角三角形 C ．不能确定D ．等腰三角形10．[2018·长春150中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4442222a b c c a b++=+， 若C 为锐角，则sin B A 的最大值为（）AB 1C D 11．[2018·长沙模拟]已知锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则sin a A b的取值范围是（）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭12．[2018·江南十校]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =ABC △周长的取值范围是（）A ．233,⎛+ ⎝⎭B ．⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭13．[2018·遵义航天]在ABC △中，3AB =，4AC =，3BC =，D 为BC 的中点，则AD =__________． 14．[2018·黄陵中学]在ABC △中，三个内角A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，且a =，则ABC △面积的最大值是________．15．[2018·江苏卷]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．16．[2018·成都七中]在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 、B 、C成等差数列，b ABC △面积的取值范围是__________．解析版1．[2018·白城十四中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，60B =︒，4a =，其面积S =则c =（） A ．15 B ．16 C ．20 D．【答案】C【解析】由三角形面积公式可得11sin 4sin 6022ABC S ac B c ==⨯⨯⨯︒=△据此可得20c =．本题选择C 选项． 2．[2018·东师附中]在ABC △中，1a =，π6A ∠=，π4B ∠=，则c =（） ABCD【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得π1sinsin 4πsin sin 6a Bb A ⨯===，且()()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=--=由余弦定理可得c =，故选A ． 3．[2018·长春质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 2b a Cc =+，则角A 为（） A ．60︒ B ．120︒C ．45︒D ．135︒【答案】A【解析】1cos 2b a C C =+，1sin sin cos sin 2B A C C ∴=+，()1sin sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C A C C +=+=+，1cos sin sin 2A C C =，1cos 2A =，60A =︒，故选A ．4．[2018·大庆实验]ABC △中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 其面积2224a b c S +-=，则中C 的大小是（） A ．30︒ B ．90︒ C ．45︒ D ．135︒【答案】C【解析】∵ABC △中，1sin 2S ab C =，2222cos a b c ab C +=-，且2224a b c S +-=，∴11sin cos 22ab C ab C =，即tan 1C =，则45C =︒．故选C ． 5．[2018·银川一中]已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC △的外接圆面积为（） A ．4π B ．8πC ．9πD ．36π【答案】D【解析】由cos cos 22sin sin sin b A a B a b cR A B C +====⎧⎪⎨⎪⎩，可得1sin cos sin cos B A A B R +=， 所以()1sin A B R +=，即1sin C R=，又cos C ，所以1sin 3C =，所以3R =，所以ABC △的外接圆面积为24π36πs R ==．故选D ．6．[2018·黄冈模拟]如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ， 测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为（）A．B．C．Dm【解析】在ABC △中，50m AC =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，即30ABC ∠=︒，则由正弦定理sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，得50sin 2m 1sin 2AC ACBAB ABC∠===∠，故选A ．7．[2018·长春实验]在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，若cos 4cos a C c A =-，π3B =，a =，则cos C =（） A ．14BCD【答案】D【解析】由余弦定理知，222222422b a c b c a a c ab bc +-+-⋅=-⋅，即4b =，由正弦定理知43πsin sin 3A =，解得sin A =，因为a b <，所以π4A =，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，故选D ． 8．[2018·莆田一中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b B a C c A =+，若b =a c +的最大值为（） A． B ．3C ．32D ．9【答案】A【解析】2cos cos cos b B a C c A =+，则2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+， 所以()2sin cos sin sin B B A C B =+=，1cos 2B =，π3B =．又有2222231cos 222a cb ac B ac ac +-+-===，将式子化简得223a c ac +=+， 则()()2233334a c a c ac ++=+≤+，所以()2134a c +≤，a c +≤A ． 9．[2018·重庆期中]在ABC △中，若22tan tan A a B b =，则ABC △的形状是（） A ．等腰或直角三角形 B ．直角三角形 C ．不能确定D ．等腰三角形【解析】由正弦定理有2222tan 4sin tan 4sin A R AB R B=，因sin 0A >，故化简可得 sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以222πA B k =+或者22π2πA B k +=+，k ∈Z ． 因A ，()0,πB ∈，()0,πA B +∈，故A B =或者π2A B +=，所以ABC △的形状是等腰三角形或直角三角形．故选A ．10．[2018·长春150中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4442222a b c c a b++=+， 若C 为锐角，则sin B A 的最大值为（）A B 1 C D 【答案】A 【解析】4442222a b c c a b++=+ 444222222222222a b c a c b c a b a b ∴++--+=，即()2222222a b c a b +-=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2222cos a b c ab C +-=，代入上式，222224cos 2a b C a b ∴=，解得cos C ∴= C 为锐角，πA B C ++=，π4C ∴=，3π4B A =-，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()3πsin sin 4B A A A A ϕ⎛⎫∴=-=+≤ ⎪⎝⎭1tan 3ϕ=，故选A ．11．[2018·长沙模拟]已知锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则sin a Ab的取值范围是（）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】∵2B A =，∴sin sin 22sin cos B A A A ==，由正弦定理得2cos b a A =，∴12cos a b A =，∴sin sin 1tan 2cos 2a A A Ab A ==．∵ABC △是锐角三角形，∴π02π022π0π32A B A C A <⎧⎪⎪⎪⎨<<=<<=-<⎪⎪⎪⎩，解得ππ64A <<，tan 1A <<11tan 22A <<．即sin a Ab的值范围是12⎫⎪⎪⎝⎭，故选D ． 12．[2018·江南十校]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =ABC △周长的取值范围是（） A ．233,⎛+ ⎝⎭B．⎭ C．⎝⎭D．⎝⎭【答案】B【解析】∵A 是B 和C 的等差中项，∴2A B C =+，∴π3A =， 又0AB BC ⋅>，则()cos π0B ->，从而π2B >，∴π2π23B <<，∵21sin sin s s 3πin in a b cA B C ====，∴sin b B =，2πsin sin 3c C B ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 所以ABC △的周长为2πsin sin 3π6l a b c B B B ⎛⎫⎛⎫=+++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又π2π23B <<，π2π5π366B <+<，1sin 26πB ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭l < 故选B ．13．[2018·遵义航天]在ABC △中，3AB =，4AC =，3BC =，D 为BC 的中点，则AD =__________．【解析】在ABC △中，根据余弦定理，可得2223341cos 2339B +-==⨯⨯， 在ABD △中，根据余弦定理，可得222331413232294AD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以AD =． 14．[2018·黄陵中学]在ABC △中，三个内角A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，且a =，则ABC △面积的最大值是________．【解析】()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B ∴=-+=-+=-，则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得2cos sin a A A -==，即tan A =，2π3A ∠=， 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△15．[2018·江苏卷]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin601sin60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，111a c+=，因此()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．16．[2018·成都七中]在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 、B 、C 成等差数列，b ABC △面积的取值范围是__________．【答案】⎝⎦【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴π3B =．由正弦定理得2sin sin sin sin 3a cb A C B ===，∴2sin a A =，2sinc C =，∴12πsin sin sin 23ABC S ac B A C A A ⎛⎫====- ⎪⎝⎭△21331cos2sin sin cos sin22242AA A A A A A A ⎫-=+==⎪⎪⎝⎭3πsin2246A A A ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴π022ππ032A A <<<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得ππ62A <<．∴ππ5π2666A <-<，∴1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭π26A ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 故ABC △面积的取值范围是⎝⎦．。