0 1 0 0 sin 0 cos 0
cos sin 0 Rot z , 0 0 1 0
0
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 1
0

3）变换矩阵连乘顺序：相对基础系--从右向左，相对运动（当前）系--从左向右 2.求分别位于两个坐标系中两点之间的距离
1
三、平面运动链的结构综合
1.求图的环数和周长 （1）结构综合（全转动副的低副运动链） 1）自由度计算公式： 3n 2 p 1 （n-活动构件数，p-低副数）； 2）运动链结构公式： 3 n 1 2 p 1 3n 2 p 4 （n-所有构件数，p-低副数）； 3）环数、所有构件数、运动副之间的关系： L p n 1 ； n 4）环数计算公式： L 1 【n杆运动链】。 2 （2）图论基本知识 1）图：有一系列边和顶点组成的相互连通的网络【G】； 2）顶/节点：图中两边连接点【 Vi /V】； 3）边：两顶点之间连线【 eij /E】； 4）同构：两个图具有相同的关联矩阵； 5）周长：构成环的边数。 2.画不同构的图及图所对应的运动链 （1）构图原则 1）两顶点之间只能用一条边连接； 2）顶点数V=构件数n，边数E=运动副数p； 3）图中不能有三角形结构（运动链中桁架的交换图的子图）； 4）图中各边只能在节点处相交，不能交叉（一定是平面图）； 5）连接变数多的节点放置在图的上方； 6）外环尽量长，图形按顺序组合。 （2）图与运动链的交换【前一图的顶点对应后一图的边】 1）图中：顶点-运动链中的构件，边-运动副； 2）变换图中：顶点-转动副，边-构件。
T
2 3 nz oz az J1 1 （2）由 2 求 （ 为移动副时按以下算法） J J T n 2 2
nx n 2 y T = n nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py = n o a p pz 0 0 0 1 1
5
n
o
0 n
a
0 n
4
3.手臂变换矩阵的表达式雅各比矩阵 n J 或 0 J
1 （1）微分变换法：由 n T 求 J1 （ J1 为转动副时按以下算法）
nx ox n o y 1 1 2 y nT 2T nT = nz oz 0 0 i j k
p n px nx i p o px ox i p a px ax py ny j py oy j py ay nz k
ax ay az 0
px py = n o a p pz 0 0 0 1 1
pz 1 i 1 j 1 k
pz 2 i 2 j 2 k oz k pz 3 i 3 j 3 k az
3.画出机构的杆组图 （1）杆组分类【 3n 2PL 0 】 n=2 Ⅱ级杆组（双杆组） PL = 3 n=4 Ⅲ级杆组 PL = 6
II级杆组 III级杆组 （2）机构的结构分析原则 1）首先，从远离原动件的部分开始拆分； 2）试拆时，先试拆低级别杆组； 3）每拆完一个杆组，剩余的部分仍然是一个完整机构。 4.指出机构的级别 以机构中所包含的基本杆组的最高级别命名。
T
J2 n z oz a z 0 0 0 （2）得出 n J = J1 J 2 【6*2】 0R J n （4） 0
0 0 n
0 n J R
T
4.求关节的平衡力矩 （1）根据已知写出力的矩阵： F Fx Fy Fz M x M y M z （2）得出 1 n J T F 【2*1】 2
ny nz o y oz a y az 0 0
p n p o p a 1
五、变换方程式
1.画出已知的变换关系 0 1 2 2.各坐标系间变换矩阵： 0 n T 1 T 2T 3T 3.反向则求逆
n 1 n
T
3
六、操作臂运动学
1.建立坐标系 （1）杆件的几何参数 1）杆长 ai --关节轴线间公垂线长【代表杆i】【+】； 2）扭转角 i --两关节轴线的交错角【 】。 （2）操作手关节变量 1）移动关节--线位移 d i 【绕杆i， ai 1 ai 为正】； 2）转动关节--角位移 i 【沿杆i， ai 1 ai 为正】。 （3）连杆连接的描述 1）首末连杆： 关节1是转动关节-- 1 可变，称为关节变量--规定 1 0 为连杆1的零位。习惯约定 d1 0 ； 关节1是移动关节-- d1 可变，称为关节变量--规定 d1 0 为连杆1的零位。习惯约定 1 0 。 2）连杆参数和关节变量： 旋转关节i，仅 i 是关节变量，其他三个参数固定不变； 移动关节i，仅 d i 是关节变量，其他三个参数因定不变。 （4）连杆坐标系（各杆分别固接一个坐标系，与基座固接记为 0 ，与关节i固接记为 i ） 1）中间连杆： zi ：与轴i共线，指向任意； xi ：与连杆i的公垂线重合（ ai ），指向关节 i 1 i ； yi ：由右手法则规定， yi zi xi ； oi ：轴 zi 与 zi 1 交点（相交时），或 di 0 处（平行时） 2）首末端连杆 0 与 1 ，即 a0 0 ， 0 0 当第一个关节是旋转关节时， d1 0 ； 第一关节是移动关节时， 1 0 。 （5）连杆坐标系所对应的连杆参数 ai 沿xi 轴 zi zi 1 测量的距离 ；
A
（3）齐次变换公式：
A p B R 1 0 0 0
pB 0 B p A A B ，即 p B R p 1 1
A
pB0
Px 1 0 0 0 1 0 A Py E B P A A B A A 1） 平移坐标变换： 即 BTrans Px , Py , Pz B R I p p pB0 ， 0 0 1 Pz 0 1 0 0 0 1 ij cos ik 0 cos ii cos cos ji cos jj cos jk 0 A A A B x , 2）旋转坐标变换： pB0 0 p B R p ，即 Rot cos ki cos kj cos kk 0 0 0 1 0 0 1 0 cos Rot x, 0 sin 0 0 0 0 cos 0 sin 0 Rot y , sin cos 0 0 1 0
一、平面机构的结构分析
1.计算机构自由度，并正确选择原动件做标记 （1）自由度计算公式：【 F 3n - 2PL - PH 】 （2）注意事项 1）复合铰链：【m个构件(m 3)在同一处构成的转动副，则算m-1个低副】 2）局部自由度：【某些构件具有局部运动，并不影响机构运动的自由度，-1】 3）虚约束：【不产生实际约束效果的重复约束，+1】 2.高副低代 （1）两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ触轮廓均为曲面： 过接触点作公法线，在线上找出两曲线在接触处的曲率中心 O1 、 O2 ， O1 、 O2 演化为 转动副。 （2）两接触轮廓之一为直线： 过接触点作公法线，在线上找出两曲线在接触处的曲率中心 O1 、O2 ，O1 演化为转 动副， O2 演化为移动副。 （3）两接触轮廓之一为一点： 过接触点作公法线，在线上找出两曲线在接触处的曲率中心 O1 、 O2 0 ， O2 与该点重 合， O1 、 O2 演化为转动副。
A A B （1）求p点在 A 坐标系下的坐标： p BT p
（2）求 A 坐标系下两点之间距离： r 3.求齐次变换矩阵的逆，写出相应元素
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
B （1）方法一：利用齐次变换矩阵的特点求逆-- A BT
i 绕xi 轴 zi zi 1 旋转的角度 ；
di 沿zi 轴 xi 1 xi 测量的距离 ；
i 绕zi 轴 xi 1 xi 旋转的角度 。
2.写出各连杆的变换矩阵
si 0 ai 1 ci s c c c s d i i 1 i 1 i s i 1 （1）连杆变换通式： i 1iT i i 1 si s i 1 ci s i 1 c i 1 di c i 1 0 0 1 0
A RT
A T B R
nx n A y T （2） 方法二： 直接齐次变换矩阵求逆--设 B nz 0
0 ox a x
pB 0 1
A
oy oz 0
ay az 0
px nx o py A x T ， 则B ax pz 1 0
下关节设置（后置模式） i 1 杆件号i 关节变量 1 1 2 2
0 1 2 （2）手臂变换矩阵： 0 T 2T 3T nT 1 n 1 n
ai 1
di
cos i 1
sin i 1
T
（3）运动方程：
0 p n0 R n p 0 1 n 1 1T q1 2T q2 nT qn 0 0 0 1 0 0 0 1 表示末端连杆的位姿 n, o, a, p 与关节变量 q1 , q2 , , qn 之间的关系 0 n 0 n
2
四、位资描述和齐次变换
1.写出齐次变换矩阵 （1）点的齐次坐标： A p px p y pz 1 【4*1的列向量】坐标系 A 中任意一点p的坐标；
T
A （2）齐次变换矩阵： B T A

A B
R
A
0 0 0
pB 0 A A B 【4*4的方阵】，则有 p BT p 1