2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案7)
高 等 数 学 基 础 学 习 辅 导（7）
导数的应用例题讲解（二）
（一）计算题
1.
解：
2. x
x x 2tan )
3sin 1ln(lim
0+→
解：x
x x 2tan )3sin 1ln(lim 0+→＝x x x
x 22sec 3sin 13cos 3lim 20+→ ＝2
3
2cos )3sin 1(23cos 3lim
20=⋅+→x x x x
3.
解：
4. x x e x x 2sin 1
cos lim 0-→
解： x
x e x x 2sin 1cos lim 0-→
＝x
x e x e x x x 22cos sin cos lim 0-→＝21 5. 求函数)1ln(x x y +-=的单调区间。

解：函数)1ln(x x y +-=的定义区间为),1(+∞-， 由于 x
x
x y +=+-
='1111 令0='y ，解得0=x ，这样可以将定义区间分成)0,1(-和),0(+∞两个区间来讨论。

当01<<-x 时，0<'y ；当+∞<<x 0是，0>'y 。

由此得出，函数)1ln(x x y +-=在)0,1(-内单调减少，在),0(+∞内单调增加。

6. 求y ＝x －ln(1＋x )的单调区间 解： y 的定义域为（－1，＋∞）
令
，得驻点：x ＝0。

列表如下：
即 单调减少区间为（－1，0），单调增加区间为（0，＋∞）。

7. 求y＝x2e－x的极值
解：函数y的定义域是（－∞，＋∞）
，得驻点：x1＝0，x2＝2。

列表如下：
令
即极小值为：y(0)＝0，极大值为：y(2)＝4e－2 8. 求曲线y＝2x3＋3x2－12x＋1的凹凸区间及拐点解：函数y的定义域是（－∞，＋∞）
令。

列表如下：
即凹区间为：，凸区间为：
拐点为：
9. 求曲线1
)(2+=
=x x
x f y 的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点。

解： 令0)
1(12
22
=+-='x x y ,驻点为1±=x 单调区间分为 )1,(--∞,)1,1(-,),1(+∞
)1,(--∞∈x ,0<'y ,)(x f 单调减少 )1,1(-∈x ,0>'y ,)(x f 单调增加 ),1(+∞∈x ,0<'y ,)(x f 单调减少 1
)(2+=
=x x
x f y 单调增加区间是)1,1(-， 单调减少区间是),1(),1,(+∞--∞
极大值点是1=x ，极小值点是1-=x
0)1()3(23
22=+-=''x x x y 令,解得01=x ,33,2±=x
凹凸区间分为 )3,(--∞,)0,3(-,)3,0(,),3(+∞
)3,(--∞∈x ,0"<y ,)(x f 是凸的 )0,3(-∈x , 0">y ,)(x f 是凹的 )3,0(∈x , 0"<y ,)(x f 是凸的
),3(+∞∈x , 0">y ,)(x f 是凹的
则1
)(2
+=
=x x
x f y 的凹区间是),3(),0,3(+∞-， 凸区间是)3,0(),3,(--∞
拐点是)0,3(),0,0(),0,3(-。

(二)、应用题
1. 求曲线y x 2=上的点，使其到点A (,)30的距离最短.
解： 曲线y x 2=上的点到点A (,)30的距离公式为
22)3(y x d +-=
d 与2d 在同一点取到最大值，为计算方便求2d 的最大值点，
将y x 2=代入得 x x d +-=22)3( 求导得 1)3(2)(2+-='x d 令0)(2='d 得25=
x .并由此解出2
10±=y ， 由于该问题确实有最小值 曲线y x 2=上的点)2
10
,
25(和点)210,25(-
到点A (,)30的距离最短.
2. 试在椭圆
上求一点P ，使它与定点（1，0）的距离最短。

解： 设该点为P(x ，y )，则它满足椭圆方程，有
它与定点（1，0）的距离平方为：
S ＝d 2＝(x －1)2＋y 2＝
令
，此时，
由于该问题确实有最小值，故所求P 点为
3. 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？
解：设底边边长为x ，高为h ，所用材料为y
且 22
108
,108x
h h x == xh x y 42+= 22
224321084x
x x x
x +=+= 2
3243224322x
x x x y -=-+=' 令0='y 得60)216(23=⇒=-x x ，
且因为0,6;0,6<'<>'>y x y x ，所以108,6==y x 是极小值值也是最小值.此时3=h 。

于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。

4. 要造一个容积为V 的圆柱形容器（无盖），问底半径和高分别为多少时，所用材料最省？
解：设圆柱形容器的底半径和高分别为r 、h ，
则有 V ＝πr 2h 或
所用材料就是其表面积（即侧面积和底面积），为
令
由于该问题确有最小值，故当底半径和高都为
时，所用材料最省。

5. 要建造一个容积为V 的有盖圆柱形仓库，问其高和底半径为多少时用料最省？
解：设圆柱形容器的底半径和高分别为r 、h ，
则有 V ＝πr 2h 或
所用材料就是其表面积（即侧面积和上、下底面积），为
令
由于实际问题确有最小值，故当底半径和高分别为
时，所用材料最省。

6. 在半径为R 的半球内作一内接圆柱体，求其体积最大时的底面半径和高。

解： 设圆柱体的底面半径为x ，则其高为22x R -， 于是圆柱体体积为222x R x V -=π 求导得 2
2
222
2
3
2
2
)
32(2x
R x R x x
R x x R x V x --=
--
-='πππ
令0='x V ，得驻点R x x 3
2,0±
== 根据实际意义知R x x 3
2
,0-
==应舍去， 故取R x 32=。

因R x 3
2>时，0>'x V ； R x 32<
时，0<'x V ，故R x 3
2=是V 的极大值点，从而也是V 的最大值点。

故体积最大时，底面半径和高分别是
R 3
2
和R 31。

7. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解： 如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足
2
22l r h =+
圆柱体的体积公式为h r V 2
π=
将222h l r -=代入得 h h l V )(2
2-=π
求导得
)3())(2(22222h l h l h V -=-+-='ππ
令0='V 得l h 33=
，并由此解出l r 3
6=. 由于实际问题确有最小值 则当底半径l r 36=，高l h 3
3=时，圆柱体的体积最大. (三)、证明题： 1. 证明不等式
)0()1ln(1><+<+x x x x
x
证明: 设函数)1ln()(u u f +=，则有u
u f +='11)(，并且对任意0>x ，函数)(u f 在区间],0[x 上应用拉格朗日中值定理，
得到 )0)(()0()(-'=-x c f f x f 其中x c <<0，即c
x x +=+1)1ln( 又由于x c +<+<111，有 x x x
+<+<1)
1ln(1
同时除以x 得 x
x x x +<+<1)ln(11 即
x x x
x
<+<+)1ln(1 成立.
2. 当1>x 时，证明不等式 e e x x
>
证 设函数x x f ln )(=，因为)(x f 在),0(+∞上连续可导，所以)(x f 在],1[x 上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得
)1)(()1()(-'=-x c f f x f 其中x c <<1，
即 )1(1
1ln ln -=
-x c
x 又由于1>c ，有
11
<c
故有 1ln -<x x
两边同时取以e 为底的指数，有1ln e e
-<x x
即 e
e x
x <
所以当1>x 时，有不等式 e e x x
> 成立.。