初二数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
-①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
-③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．
【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题
】1作法图形【问题原理
A A
两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．B
B，使上求一点P在直线l
值最小．PA+PB
【问题2】“将军饮马”作法图形原理
A A
B＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．B
l l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为
P，使P在直线l 上求一点B'
PA+PB 值最小．
3】作法图形原理【问题
P'l 1l 1
分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M P
PM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P l
l l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P
分别求点在直线l212N
M 、N，使△PMN的周长P''
最小．
4】作法【问题图形原理
l 1l1Q'
Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MP
l 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N
，使四边形N 、M PQMN P'
的周长最小．
【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文
A A M m将点A 向下平移MN 的长度两点之间线段最短．n A'M n＇B，交单位得A＇，连A N m AM +MN +BN 的最小值为B于m N 作NM ⊥于点N，过n N，n ，在
m 、n 直线m ∥A＇B+MN ．．M B MN、N，使上分别求点M 的，且AM+ MN+ BN ⊥m 值最小．【问题6】作法图形原理
A A'A将点A 向右平移a 个长度单
B B l两点之间线段最短．的对＇，作 A ＇关于位得A l a N l M，交直线称点A＇，连A＇B AM +MN +BN 的最小值为MN l MM（上求两点、N在直线l 点向左平，将于点NNA＇B+ MN．A''MN a 移 a 个单位得M．在左），使，并使的值最小．AM + MN+ NB 】【问题7作法图形原理
l l1 1 P'P P l点到直线，垂线段最短．＇，的对称点作点P 关于P 1
A ll 于B⊥，交作P＇B22PA+ A
B 的最小值为线段P＇l 2于A．l B的长．2l l 上求A上求点在，在21B
，使PA+ AB 值最小．点B
图形原理】【问题8作法
l 1B'N
A
l 1l的对称点关于 A 作点2l2两点之间线段最短．MB l 的对称A ＇，作点 B 关于N1A AM +MN +NB 的最小值为lll，于B＇交M 为上点B＇，连A＇A 为上一定点，B 212线段A＇B＇的长．l 2BM l l ，一定点，在上求点交M．N 于21A'l 在使，N 点上求1的值最小．AM + MN+ NB
图形原理】【问题9作法
A A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．B的中垂线与A
B ，作连AB l l．l 直线的交点即为P PA PB ＝0．P PA 上求一点l P，使在直线
的值最小．PB
【问题10】作法图形原理
范文
A三角形任意两边之差小于A B
作直线AB，与直线l 的交第三边．PA PB ≤AB．l Bl ．点即为P P，使l 上求一点P在直线PA PB 的最大值＝AB．PA PB 的值最大．
【问题11】作法图形原理
A三角形任意两边之差小于A
作B 关于l 的对称点B＇l B'第三边．PA PB ≤AB＇．l交点即l 作直线 A B＇，与B P
为P．B PA PB 最大值＝AB＇．，使l 上求一点P在直线
PA PB 的值最大．
【问题12】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点”，即满D APB＝∠BPC＝∠足∠A两点之间线段最短．E AC°．以AB、APC＝120 C B、ABD 为边向外作等边△PA+ PB+ PC 最小值＝CD ．P△ABC 中每一内角都小于△ACE，连CD 、BE 相交CB于P ，点P 即为所求．，ABC 内求一点P120°，在△
值最小．PA+PB+PC 使
【精品练习】
1 的面积为．如图所示，正方形ABCD12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有
一点P，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）
AD
62 62 3B．．C．3D A．P
E
BC
2．如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60 °，若将△ACD 绕点 A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD）交于点E、F ，则△CEF 的周长的最小值为（
A．2B．2 3
C．23D．4
范文
3．四边形ABCD 中，∠B＝∠D ＝90°，∠C＝70 °，在BC 、CD 上分别找一点M、N，使△AMN 的周长最小时，
∠AMN + ∠ANM 的度数为（）
AD°110°D．140CA．120°
B．130°．
N B
M
4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42 ，∠BAC＝45 °，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB
C 的最小值是上的动点，则BM +MN ．
D M
AN B
5．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90 °，∠B＝30 °，AB＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上重合），、C （不与点B
．的取值范围是且ED ＝AE，则线段AE
A E
CD B
6．如图，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM ＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，
则MP ＋PQ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，222BC AC AB°，则有＝90 C即Rt△ABC 中，∠）
7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B 在x轴的正半轴，坐标为B( 63 ，0)．
OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．
范文
y轴上，D 在在x 轴上，则四边形4）、B （4，2）．C 8．已知A（2，ABCD 的周长最小值为，
两点的坐标分别为D 此时C、．y
A
B
Ox．已知9）．，2 1，1）、B（4A（y点的坐标；轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P （1）P 为x
B
A
Ox
点的坐标；P 的值最大时x 轴上一动点，求PA PB ）（2 P 为y B
A
Ox
（3）CD 为x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且CD ＝1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时C 点的坐标；
y
B
A
OxC D
10 ．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点 D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．
A
C
B O
范文
11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于F，连AF，求证：AF +BF +CF ＝CD ；
（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB＝6，BC＝8，∠ A ，∠C 均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC 的
值最小，试求出最小值并说明理由．
D
A A E
C B F图②C B
图①
处，需经过两座桥处到达 B A ＇处直角转弯，河宽相等，从12 ．荆州护城河在CC＇，护城河及两桥EE ＇、DD
点路径最短？到都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使B A
范文。