《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。

考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、理解随机变量的概念，了解(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数分布(参数 )、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。

9、会求分布中的待定参数。

10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。

14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。

会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。

会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。

18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握 2分布(及性质)、t分布、F 分布及其分位点概念。

19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。

21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。

会求双正态总体均值与方差的置信区间。

二、各章知识要点 第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(（4） B ayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑ii p =1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤ba dx x fb X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=x x i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F = 5．正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

第四章 随机变量的数字特征 1．期望(1) 离散时 ∑=ii i p x X E )(，∑=ii i p x g X g E )())(( ；(2) 连续时⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(，⎰+∞∞-=dx x f x g X g E )()())((；(3) 二维时∑=ji ij j i p y x g Y X g E ,),()),((，dy dx y x f y x g Y X g E ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=),(),()),(( (4)C C E =)(；（5）)()(X CE CX E =； （6）)()()(Y E X E Y X E +=+； （7）Y X ,独立时，)()()(Y E X E XY E = 2．方差（1）方差222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=，标准差)()(X D X =σ； （2）)()( ,0)(X D C X D C D =+=； （3）)()(2X D C CX D =；（4）Y X ,独立时，)()()(Y D X D Y X D +=+ 3．协方差（1）)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=； （2）),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov ==； （3）),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+；（4）0),(=Y X Cov 时，称Y X ,不相关，独立⇒不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+ 4．相关系数)()(),(Y X Y X Cov XY σσρ=；有1||≤XY ρ，1)( ,,1||=+=∃⇔=b aX Y P b a XY ρ5．k 阶原点矩)(k k X E =ν，k 阶中心矩k k X E X E ))((-=μ 第五章 大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥- 或2)(1}|)({|εεX D X E X P -≥<-2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布2)( ,)(σμ==i i X D X E ，则) ,(~21σμn n N X ni i ∑=近似， 或) ,(~121n N X n n i i σμ∑=近似 或)0,1(~ 1N n n X ni i近似σμ∑=-，（2）设m 是n 次独立重复试验中A 发生的次数，p A P =)(，则对任意x ，有)(}{lim x x npqnp m P n Φ=≤-∞→或理解为若),(~p n B X ，则),(~npq np N X 近似第六章 样本及抽样分布 1．总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征：样本均值∑==ni i X n X 11（μ=)(X E ，nX D 2)(σ=）；样本方差∑=--=ni i X X n S 122)(11（22)(σ=S E ）样本标准差∑=--=ni i X X n S 12)(11 样本k 阶原点矩∑==n i k i k X n 11ν，样本k 阶中心矩∑=-=ni k i k X X n 1)(1μ2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义） （1）2χ分布 )(~2222212n X X X n χχ+++= ，其中n X X X ,,,21 独立同分布于标准正态分布)1,0(N ，若)(~ ),(~2212n Y n X χχ且独立，则)(~212n n Y X ++χ；（2）t 分布 )(~/n t nY X t =，其中)(~ ),1,0(~2n Y N X χ且独立；（3）F 分布 ),(~//2121n n F n Y n X F =，其中)(~),(~2212n Y n X χχ且独立，有下面的性质),(1),( ),,(~11221112n n F n n F n n F F αα=- 4．正态总体的抽样分布 （1）)/,(~2n N X σμ； （2）)(~)(11222n Xni i∑=-χμσ；（3）)1(~)1(222--n S n χσ且与X 独立； （4）)1(~/--=n t nS X t μ；（5）)2(~)()(21212121-++---=n n t n n n n S Y X t ωμμ，2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S ω （6）)1,1(~//2122222121--=n n F S S F σσ第七章 参数估计 1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min }{i x 或max }{i x ） 3．估计量的评选原则(1)无偏性：若θθ=)ˆ(E ，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4．参数的区间估计（正态）三、概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。