第一章空间向量
1、非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
2．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).
向量表示 坐标表示
数量积 a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
共线 a ＝λb (b ≠0) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3
垂直 a ·b ＝0 (a ≠0，b ≠0)
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 23
夹角 〈a ，b 〉 (a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23
3．在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．
4．在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．
5．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2 l 1∥l 2
n 1∥n 2⇒n 1＝λn 2 l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 2·n 2＝0
直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m l ∥α
n ⊥m ⇔m ·n ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm
平面α、β的法向量分别为n 、m α∥β
n ∥m ⇔n ＝λm α⊥β n ⊥m ⇔n ·m ＝0
6．两条异面直线所成角的求法
两条异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |
(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)． 7．直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，向量e 与n 的夹角为θ，
则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e ||n ||e |
.
8．求二面角的大小θ
如图②③，n 1，n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小满足|cos θ|＝cos <n 1，n 2 >，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．
9．利用空间向量求距离：线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．
如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为d ＝|AB →·n ||n |
. 10．直线的方向向量的确定：A ，B 是l 上任意两点，则AB →及与AB →平行的非零向量均为直线l 的方向向量．
11．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧
n ·a ＝0，n ·b ＝0. 第二章 解析几何
1．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值___叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan α___，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1
___. 2．名称 方程 适用范围
点斜式 __y －y 0＝k (x －x 0)___ 不含直线x ＝x 0
斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线
3．平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合___三种情况．
(1)两条直线平行
对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.
对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，
l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．
(2)两条直线垂直
对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.
对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0___.
4．两条直线的交点
直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 5．三种距离公式
(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.
特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.
(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B
2. 6．
7．d 为圆心(a ，b )到直线l Δ.
8．
291．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．
2．过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
3．过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.
4．过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
5．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋(12l )2.。