(1) 按小变形分析
由于位移和变形都很小，近似地取 si n? ? ? ，则平衡方程
可写为
(Fl ? k)? ? 0
F
F
A
F
A
EI=∞ l
Fcr A
C B
φ
O
φ
B
B
关于方程的解：
k
kφ F ~ φ曲线
a . φ = 0 时，上式成立，对应的是结构原有的平衡形式。
b . φ ≠0 时，有 Fl ? k ? 0，上式也成立，此时对应的是新的
F cr — 临界荷载，此时的状态称为临界状态。 特征：平衡形式会发生质变，即出现分支点。
4.第二类失稳 (极值点失稳 )
压杆始终处于受压和弯曲的复合受力状态，随着荷载 F 的
增加，杆件的挠度会逐渐增大。当荷载 F 达到临界值 F cr 时，即使不增加荷载甚至减小
荷载，挠度仍会继续增加。压
杆始终是处于弯曲平衡形式 。
F
F
竖杆为无限刚性，
A
A
F
下端为抗转弹簧支 承，其刚度为 k (发 EI=∞ l
C
Fcr A
B
φ
生单位转角所需的 力矩)，设压杆处于 随遇平衡状态时偏
O
φ
B
B
k
kφ F ~ φ曲线
离竖直位，有倾角φ，
由平衡条件 ? M A ? 0 有 Fl sin? ? k? ? 0
分别用小变形理论和大变形理论求解此方程。
2. 弹性压杆（无限自由度）的临界荷载
由材料力学知，挠曲线与截面 弯矩的关系是
F
A
Fs
EIy ? M
yC
l
x
于是
y
EIy ? F ?yFs (l ? x)
第十三章 结构弹性稳定
§13-1 概述 §13-2 用静力法确定临界荷载 §13-3 具有弹性支座压杆的稳定 §13-4 用能量法确定临界荷载
§13-5 变截面压杆的稳定 §13-6 剪力对临界荷载的影响 §13-7 组合压杆的稳定
§13-1 概述
1.平衡状态的稳定性
稳定的平衡状态
平衡状态： 不稳定的平衡状态
例13-1 图式结构中两抗移弹簧的刚度均为k ，求结构的
临界荷载。
F
F
解：结构有 2 个稳定自 由度， 设失稳时 A、 B 点的侧 向位 移分别是 y1、 y2 。
A
k
EI=∞
l
B
EI=∞
k l
y1 ky1
y2 ky2
C
对AB段 ∑MB=0，有 对整体 ∑MC=0，有
? F ( y2 ? y1 ) ? ky1l ? 0 Fy1 ? ky1 ?2l ? ky2l ? 0
?
k l
失稳后的位移值 φ 无法确定，荷载—位移曲线如AB。
F
A
(2) 按大变形分析
由平衡方程可得
F
?
k? l sin ?
φ
B
kφ
F Fcr A
O
C B
φ
即每一个 φ 值对应一个F 值，荷载—位移曲线如AC。而
临界荷载为
当φ →0 时，Fcr
?
k l
与按小变形分析所得结果相同。
因此若只要求临界荷载而不需计算失稳后的位移，可按小 变形理论分析。
k l
F
y1 ky1
y2 ky2
解为
F1
?
3? 2
5 kl ?
2.618kl
C
F2
?
3? 2
5
kl ?
0.382kl
F1
?
3? 2
5 kl ?
2.618kl
F
A
k
F2
?
3? 2
5
kl ?
0.382kl
EI=∞
l
B
k
理论上，F1、F2都是临界荷载， EI=∞
l
但两者对应的失稳形式不同，
C
F = 2.618kl F = 0.382kl
即
? (kl ? ??(2kl ?
F ) y1 F ) y1
? ?
Fy2 kly2
?0 ?0
y1 、y2 不能全为零，其非零解的条件是：上述方程的系数 行列式为零，即
(kl ? F ) F ? 0 (2kl ? F ) kl
展开得 F 2 ? 3klF ? (kl)2 ? 0
F
A
k
EI=∞
l
B
EI=∞
F cr
F F cr A
曲，取消干扰力后，杆会恢
δ
复直线，此时，压杆的直线 平衡是稳定的。
O
δ
F ~δ曲线
当 F=F cr 时，同样在杆的横
向作用一微小的干扰力使杆弯曲，但取消干扰力后，杆不
会恢复直线而仍保持弯曲平衡，于是出现了平衡形式的分
支，即此时压杆即可以具有原来只受轴力的直线平衡，也
可以具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式 。
y2 ? ?1.618 y1
2. 弹性压杆（无限自由度）的临界荷载
图示一段固定另一端铰支的等 截面弹性压杆。设失稳时杆件 的挠曲线为 y=y(x)，C为任一 截面，其弯矩为M，取AC段 分析，
由
? Mc ? 0
F
A
Fs
yC
l
x yB
F A Fs
l-x Cy
M
得 ? M ? Fy ? Fs (l ? x) ? 0
Fe
F
F cr — 临界荷载 特征：平衡形式不发生分支 δ 现象，即没有新的平衡形式 发生。
F cr
A
O
δ
F ~δ 曲线
第二类失稳较第一类失稳复杂，本章只讨论弹性结构的 第一类失稳。
5.结构稳定的自由度
结构稳定自由度： 确定结构失稳时所有可能的变形 形式所需的独立参数的数目。
F F
F
F
y1
y1
EI =∞
EI =∞
φ EI =∞
y2
EI =∞
y y2
EI =∞
1个自由度
2个自由度
2个自由度
与支承弹簧的 数量无关
无限多个 自由度
§13-2 用静力法确定临界荷载
静力法：根据分支点状态（临界状态）时结构新出现的平 衡形式来建立平衡方程，从而求解临界荷载。
1. 刚性压杆（有限自由度）的临界荷载
图示单自由度结构，
y1= 1
y1= 1
y2= 0.618
y2= -1.618
F 1=2.618kl 时，失稳形式是
F2=0.382kl 时，失稳形式是 因 F 2 <F 1，所以临界荷载为 而真正的失稳形式是
y2 ? F1 ? kl ? 0.618
y1
F1
y2 ? F2 ? kl ? ?1.618
y1
F2
Fcr ? F2 ? 0.382kl
平衡形式。
因此，欲使φ ≠0 时，则必须有 Fl - k = 0
(Fl ? k)? ? 0
欲使φ ≠0 时，则必须有
Fl - k = 0
F
A
EI=∞ l
B
k
F Fcr A
O
C B
φ
上式称为稳定方程或特征方程，反应了失稳时平平衡的条件。由此方
程可求出临界荷载
Fcr
随遇平衡状态
2.结构失稳 结构失稳： 结构离开稳定的平稳状态，转入不稳 定平衡状态或随遇平衡状态，称为结构失稳或结 构屈曲。 结构稳定分析的目的： 防止不稳定的平衡状态或 随遇平衡状态发生。 结构失稳的类型： 第一类失稳 第二类失稳
3.第一类失稳 (分支点失稳 )
理想中心受压直杆
F
当 F<F cr 时，在杆的横向作 用一微小的干扰力使杆弯