2．1圆锥曲线[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．[知识链接]1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答：不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答：是双曲线一支．[预习导引]1．椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．4．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．要点一椭圆定义的应用例1在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.规律方法本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪演练1已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．证明设MB＝r.∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于AB)．∴圆心M的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．要点二双曲线定义的应用例2已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．解由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．规律方法设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式．注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C1与圆C2相切于点(－1,0)，所以M的轨迹不过(－1,0)．跟踪演练2在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且|sin C－sin B|＝12sin A，则顶点A的轨迹是什么？解因为|sin C－sin B|＝12sin A，由正弦定理可得|AB－AC|＝12BC＝12m，且12m<BC，所以点A的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC的两交点)．要点三抛物线定义的应用例3已知动点M的坐标(x，y)满足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨迹．解方程可变形为(x－1)2＋(y－1)2|x＋y＋6|2＝1，∵(x－1)2＋(y－1)2表示点M到点(1,1)的距离，|x＋y＋6|2表示点M到直线x＋y＋6＝0的距离，又由(x－1)2＋(y－1)2|x＋y＋6|2＝1知点M到定点(1,1)的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．规律方法若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．跟踪演练3点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．答案椭圆或线段或不存在解析当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．2．已知△ABC的项点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A、B为焦点的双曲线的右支解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________．答案以O、A为焦点的椭圆解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．4．到定直线x＝－2的距离比到定点(1,0)的距离大1的点的轨迹是________________．答案以(1,0)为焦点的抛物线解析到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线．1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线．2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.3．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．4．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．一、基础达标1．已知定点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点轨迹是________．答案椭圆解析因为MF1＋MF2＝10，且10>F1F2，所以动点M轨迹是椭圆．2．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距离为42，由定义知动点M的轨迹是双曲线．3．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是__________．答案两条射线解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，轨迹为两条射线．4．若点M到F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹表示的曲线是________．答案抛物线解析由题意知M到F的距离与到x＝－4的距离相等，由抛物线定义知，M点的轨迹是抛物线．5．下列说法中正确的有________(填序号)．①已知F1(－6,0)、F2(6,0)，到F1、F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆；②已知F 1(－6,0)、F 2(6,0)，到F 1、F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；③到点F 1(－6,0)、F 2(6,0)两点的距离之和等于点M (10，0)到F 1、F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点F 1(－6,0)、F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．答案 ③解析 椭圆是到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．①中F 1F 2＝12，故到F 1、F 2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F 1F 2.②中点到F 1、F 2两点的距离之和8小于F 1F 2，故这样的点不存在．③中点M (10,0)到F 1、F 2两点的距离之和为(10＋6)2＋02＋(10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．故正确的是③.6．△ABC 中，若B ，C 的坐标分别是(－2,0)，(2,0)，中线AD 的长度为3，则A 点的轨迹方程是________________________________________________________________________． 答案 x 2＋y 2＝9(y ≠0)解析 ∵B (－2,0)，C (2,0)，∴BC 的中点为D (0,0)．设A (x ，y )，又∵AD ＝3，∴x 2＋y 2＝3(y ≠0)，∴A 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝9(y ≠0)．7．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，判断动圆圆心M 的轨迹．解 设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与定圆B 内切，所以MB ＝8－r .又动圆M 过定点A ，MA ＝r ，所以MA ＋MB ＝8＞AB ＝6，故动圆圆心M 的轨迹是椭圆．二、能力提升8．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是__________． 答案 抛物线解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若点P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是__________．答案 抛物线的一部分解析 点P 到直线C 1D 1的距离就是点P 到点C 1的距离，所以动点P 的轨迹就是动点到直线BC 与到点C 1的距离相等的点的轨迹，是抛物线的一部分．10．已知点A (－1,0)、B (1,0)．曲线C 上任意一点P 满足P A →2－PB →2＝4(|P A →|－|PB →|)≠0.则曲线C的轨迹是______．答案 椭圆解析 由P A →2－PB →2＝4(|P A →|－|PB →|)≠0，得|P A →|＋|PB →|＝4，且4>AB .故曲线C 的轨迹是椭圆．11．已知动圆与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2相内切，且过点A (2,0)，求动圆圆心M 的轨迹． 解 设动圆M 的半径为r ，∵圆C 与圆M 内切，点A 在圆C 外，∴MC ＝r －2，MA ＝r ，∴MA －MC ＝2，又∵AC ＝4>2，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支．12．如图所示，已知点P 为圆R ：(x ＋c )2＋y 2＝4a 2上一动点，Q (c,0)为定点(c >a >0，为常数)，O 为坐标原点，求线段PQ 的垂直平分线与直线RP 的交点M 的轨迹．解 由题意，得MP ＝MQ ，RP ＝2a .MR －MQ ＝MR －MP ＝RP ＝2a <RQ ＝2c .∴点M 的轨迹是以R 、Q 为两焦点，实轴长为2a 的双曲线的右支．三、探究与创新13．设Q 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点A (3，0)，线段AQ 的垂直平分线交半径OQ 于点P .当Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹．解 因为线段AQ 的垂直平分线交半径OQ 于点P ，所以P A ＝PQ .而半径OQ ＝OP ＋PQ ，所以OP ＋P A ＝2，且2>3＝OA ，故点P 的轨迹为椭圆(除去与x 轴相交的两点)．。