第四章 中值定理与导数的应用§4. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是0)()(lim)()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x , 0)()(lim)()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x ,所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(,定理的证明: 引进辅函数 令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-ab a f b f --)()(=0.由此得ab a f b f --)()(= f '(ξ) ,即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得 f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数. 例2. 证明当x >0时,x x xx<+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。

由于f (0)=0, xx f +='11)(, 因此上式即为ξ+=+1)1l n (xx .又由0<ξ<x , 有x x xx<+<+)1l n (1.三、柯西中值定理设曲线弧C 由参数方程⎩⎨⎧==)()(x f Y x F X (a ≤x ≤b ) 表示, 其中x 为参数. 如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C 上必有一点x =ξ , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB , 曲线C 上点x =ξ 处的切线的斜率为)()(ξξF f dXdY ''=,弦AB 的斜率为 )()()()(a F b F a f b f --.于是)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.柯西中值定理 如果函数f (x )及F (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且F '(x )在(a , b )内的每一点处均不为零, 那么在(a , b )内至少有一点ξ , 使等式 )()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.成立.显然, 如果取F (x )=x , 那么F (b )-F (a )=b -a , F '(x )=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ) (a <ξ<b ),这样就变成了拉格朗日中值公式了.§4. 2 洛必达法则未定式: 如果当x →a (或x →∞)时, 两个函数f (x )与F (x )都趋于零或都趋于无穷大, 那么极限)()(lim)(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式, 并分别简记为00或∞∞. 其它类型的未定式: 0⋅∞ 、∞-∞ 、00、1∞、∞0. x x x s i n lim0→(00型), n x x x ln lim +∞→(n >0) (∞∞型), x x n x ln lim 0+→(n >0) (0⋅∞型),)t a n (s e c l i m 2x x x -→π(∞-∞型), xx x 0lim+→(00型), x x x)11(lim +∞→(1∞型), 2122)(lim x x a x +∞→(∞0型).定理 如果函数f (x )及g (x )满足如下条件:(1)当x →a 时, 函数f (x )及g (x )都趋于零; (2)在点a 的某去心邻域内可导g '(x )≠0;(3))()(limx g x f ax ''→存在(或为无穷大);那么 )()(l i mx g x f ax →)()(l i mx g x f ax ''=→.这种在一定条件下通过分子分母别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证明: 因为极限)()(limx g x f ax →与f (a ) 及g (a )无关, 所以可以假定f (a )=g (a )=0, 于是由条件(1)、(2)知, f (x )及g (x )在点a 的某一邻域内是连续的. 设x 是这邻域内的一点, 那么在以x 及a 为端点的区间上, 柯西中值定理的条件均满足, 因此有)()()()()()()()(ξξg f a g x g a f x f x g x f ''=--=(ξ 在x 与a 之间).令x →a , 并对上式两端求极限, 注意到x →a 时ξ →a , 再根据条件(3)便得要证明的结论. 简要证明: 令f (a )=g (a )=0, 于是f (x )及g (x )在点a 的某邻域内连续. 在该邻域内有 )()(lim )()()()(lim )()(limξξg f a g x g a f x f x g x f a x a x ax ''=--=→→→)()(l i m ξξξg f a ''=→)()(l i mx g x f a x ''=→.令x →a , 并对上式两端求极限, 注意到x →a 时ξ →a , 再根据条件(3)便得要证明的结论.求“00”型未定式的极限:例1.．求bxaxx sin sin lim0→(b ≠0).解: babx b ax a bx ax bx ax x x x ==''=→→→cos cos lim )(sin )(sin lim sin sin lim 0.例2．求123lim2331+--+-→x x x x x x .解: )1()23(lim123lim 23312331'+--'+-=+--+-→→x x x x x x x x x x x x 23266lim 12333lim 1221=-=---=→→x x x x x x x .例3. 求3sin limx xx x -→. 解: 3sin lim xx x x -→203cos 1lim xx x -=→xx x 6sin lim 0→=61=. 我们指出, 对于x →∞时的未定式00, 以及对于x →a 或x →∞时的未定式∞∞也有相应的洛必达法则. 例如, 对于x →∞时的未定式00有: 如果 (1)当x →∞时, 函数f (x )及g (x )都趋于零;(2)当|x |>N 时f '(x )及g '(x )都存在且g '(x )≠0; (3))()(lim x g x f x ''∞→存在(或为无穷大); 那么)()(limx g x f x ∞→)()(limx g x f x ''=∞→. 例4. 求xx x 1arctan 2lim-+∞→π.解: xx x 1arctan 2lim -+∞→π22111limx x x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .2、求“ ∞∞”型未定式的极限.例5. 求n x xxln lim +∞→(n >0).解: n x x x ln lim +∞→11lim -+∞→=n x nx x 01lim ==+∞→n x nx . 例6. 求x nx ex λ+∞→lim (n 为正整数, λ>0).解: x n x ex λ+∞→lim x n x enx λλ1lim -+∞→=xn x ex n n λλ22)1(lim -+∞→-== ⋅ ⋅ ⋅ 0!l i m ==+∞→x n x en λλ.其它类型未定式0⋅∞、∞-∞、00、1 ∞、∞0都可以转化为00或∞∞型未定式来计算. 例7. 求x x n x ln lim 0+→(n >0).解:x x n x ln lim 0+→n x x x -+→=ln lim 0101lim --+→-=n x nx x 0lim 0=-=+→nx n x .例9. 求)tan (sec lim 2x x x -→π.解: )tan (sec lim 2x x x -→πxx x cos sin 1lim 2-=→π0sin cos lim 2=-=→xx x π.例8. 求x x x 0lim +→.解: x x x 0lim +→1lim 0ln 0===+→e e x x x (根据例7).洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但最好能与其它求极限的方法结合使用. 例如能化简时应尽可能先化简, 可以应用等价无穷小替代或重要极限时, 应尽可能应用, 这样可以使运算简捷.例10. 求xx xx x sin tan lim 2-→. 解: xx x x x sin tan lim 20-→30tan lim xx x x -=→22031sec limxx x -=→ x x x x 6t a n s e c 2lim 20→=31t a n s e c lim 3120=⋅=→x x x x .最后, 我们指出, 本节定理给出的是求未定式的一种方法. 当定理条件满足时, 所求的极限当然存在（或为∞）, 但定理条件不满足时, 所求极限却不一定不存在.例11. 求xxx x sin lim ++∞→.解: 因为极限)()sin (lim''++∞→x x x x 1cos 1lim xx +=+∞→不存在,所以不能用洛必达法则.xxx x s i n lim++∞→1)s i n 1(l i m =+=+∞→xx x . 求极限的方法小结:（1）单调有界序列必有极限; （2）用夹逼定理;（3）用极限运算法则 （4）用函数的连续性; （5）用两个重要极限;（6）无穷小乘有界函数仍是无穷小; （7）用洛必达法则;补充例题: 例11 求极限0lim→x xb axx-(a >0, b >0).解 0l i m→x xb a xx-=0lim→x )()(''-x b a xx=0lim→x 1ln ln bb a a xx -=ln a -ln b = lnba .例12 0lim→x xxx x 3sincos sin -=0lim→x 3cos sin xxx x -=0lim→x )()cos (sin 3''-x x x x=0lim→x 23sin cos cos xxx x x +-=310lim→x xx sin =31.例13 2limπ→x xtg tgx 3=2limπ→x )3()(''x tg tgx =2limπ→x xx3cos 3cos 122=312lim π→x xx 22cos 3cos =312limπ→x xx xx sin cos 23sin 3cos 6--=2limπ→x xx 2sin 6sin =2limπ→x xx 2cos 26cos 6=3.例14 求极限∞→x lim x ln ⎪⎭⎫⎝⎛-+a x a x (a ≠ 0).解 ∞→x l i m x ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x a x =∞→x lim x a x a x 1ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→x lim 2111xax a x ---+=2a ∞→x lim 222a x x -=2a . 例15 +∞→x lim xx 1=+∞→x lim xx eln 1,其中+∞→x limx1ln x =+∞→x limxx ln =+∞→x lim11x=0, 于是+∞→x lim x x 1=+∞→x lim xxe ln 1=e 0=1.例16 1lim →x (xln 1-11-x )=1lim→x xx x x ln )1(ln 1---=1lim→x xx x x1ln 11---=1lim →x 1ln 1-+-x x x x =1lim→x 11ln 1-+x =21.求下列极限: （1）+∞→x lim x (x e 1-1). (2) 0lim→x xx x sin 1sin2.（3）+∞→x limxxx x ee e e --+-.§4. 3 函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法如果函数y =f (x )在[a , b ]上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即y '=f '(x )≥0(y '=f '(x )≤0). 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. 反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1(函数单调性的判定法) 设函数y =f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导. (1)如果在(a , b )内f '(x )>0, 那么函数y =f (x )在[a , b ]上单调增加;(2)如果在(a , b )内f '(x )<0, 那么函数y =f (x )在[a , b ]上单调减少.证明 只证(1). 在[a , b ]上任取两点x 1 , x 2 (x 1 <x 2 ), 应用拉格朗日中值定理, 得到f (x 2 )-f (x 1 )=f '(ξ)(x 2-x 1) (x 1 <ξ<x 2 ).由于在上式中, x 2-x 1>0, 因此, 如果在(a , b )内导数f '(x )保持正号, 即f '(x )>0, 那么也有f '(ξ)>0. 于是f (x 2 )-f (x 1 )=f '(ξ)(x 2 -x 1 )>0,即 f (x 1 )<f (x 2 ), 这函数y =f (x ) 在[a , b ]上单调增加.注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例1 判定函数y =x -sin x 在[0, 2π]上的单调性. 解 因为在(0, 2π)内y '=1-cos x >0,所以由判定法可知函数y =x -cos x 在[0, 2π]上的单调增加.例2 讨论函数y =e x-x -1的单调性. （没指明在什么区间怎么办？)解 y '=e x-1.函数y =e x -x -1的定义域为(-∞, +∞). 因为在(-∞, 0)内y '<0, 所以函数y =e x -x -1在(-∞, 0] 上单调减少; 因为在(0, +∞)内y '>0, 所以函数y =e x -x -1在[0, +∞)上单调增加. 例3. 讨论函数32x y =的单调性. 解: 函数的定义域为(-∞, +∞). 当时, 函数的导数为332xy ='(x ≠0), 函数在x =0处不可导.当x =0时, 函数的导数不存在.因为x <0时, y '<0, 所以函数在(-∞, 0] 上单调减少; 因为x >0时, y '>0, 所以函数在[0, +∞)上单调增加.如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程f '(x )=0的根及导数不存在的点来划分函数f (x )的定义区间, 就能保证f '(x )在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数f (x )在每个部分区间上单调.例4. 确定函数f (x )=2x 3-9x 2+12x -3的单调区间. 解 这个函数的定义域为:(-∞, +∞).函数的导数为:f '(x )=6x 2 -18x +12 = 6(x -1)(x -2). 导数为零的点有两个: x 1 =1、x 2 =2. 列表分析:函数f (x )在区间(-∞, 1]和[2, +∞)内单调增加, 在区间[1, 2]上单调减少.例5. 讨论函数y =x 3的单调性. 解 函数的定义域为: (-∞, +∞).函数的导数为: y '=3x 2 . 除当x =0时, y '=0外, 在其余各点处均有y '>0. 因此函数y =x 3在区间(-∞, 0]及[0, +∞)内都是单调增加的. 从而在整个定义域: (-∞, +∞)内是单调增加的. 在x =0处曲线有一水平切线.一般地, 如果f '(x )在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例6. 证明: 当x >1时, xx 132->.证明: 令)13(2)(xx x f --=, 则)1(111)(22-=-='x x xxxx f .因为当x >1时, f '(x )>0, 因此f (x )在[1, +∞)上f (x )单调增加, 从而当x >1时, f (x )>f (1). 由于f (1)=0, 故f (x )>f (1)=0, 即0)13(2>--xx ,也就是xx 132->(x >1).二、曲线的凹凸与拐点凹凸性的概念:定义 设f (x )在区间I 上连续, 如果对I 上任意两点x 1, x 2, 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+,那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+,那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧).定义' 设函数y =f (x )在区间I 上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的. 凹凸性的判定:定理 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在(a , b )内f ''(x )>0, 则f (x )在[a , b ]上的图形是凹的; (2)若在(a , b )内f ''(x )<0, 则f (x )在[a , b ]上的图形是凸的. 简要证明 只证(1). 设21 ,x x x 1, x 2∈[a , b ], 且x 1<x 2, 记2210x x x +=.由拉格朗日中值公式, 得2)())(()()(21101101x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ, 011x x <<ξ, 2)())(()()(12202202x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ, 220x x <<ξ,两式相加并应用拉格朗日中值公式得2)]()([)(2)()(1212021x x f f x f x f x f -'-'=-+ξξ02))((1212>--''=x x f ξξξ, 21ξξξ<<,即)2(2)()(2121x x f x f x f +>+, 所以f (x )在[a , b ]上的图形是凹的.拐点: 连续曲线y =f (x )上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线y =f (x )的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数y =f (x )的定义域;(2)求出在二阶导数f`'' (x );(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）（3）步有时省略. 例1. 判断曲线y =ln x 的凹凸性. 解: xy 1=', 21xy -=''.因为在函数y =ln x 的定义域(0, +∞)内, y ''<0, 所以曲线y =ln x 是凸的. 例2. 判断曲线y =x 3的凹凸性. 解: y '=3x 2, y ''=6x .由y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''<0, 所以曲线在(-∞, 0]内为凸的; 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在[0, +∞)内为凹的. 例3. 求曲线y =2x 3+3x 2-2x +14的拐点. 解: y =6x 2+6x -12, )21(12612+=+=''x x y .令y ''=0, 得21-=x .因为当21-<x 时, y ''<0; 当21->x 时, y ''>0, 所以点(21-, 2120)是曲线的拐点. 例4. 求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 解: (1)函数y =3x 4-4x 3+1的定义域为(-∞, +∞);(2)231212x x y -=',)32(3624362-=-=''x x x x y ;(3)解方程y ''=0, 得01=x , 322=x ;(4)列表判断:在区间(-∞, 0]和[2/3, +∞)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点.例5 问曲线y =x 4是否有拐点？ 解 y '=4x 3, y ''=12x 2.当x ≠0时, y ''>0, 在区间(-∞, +∞)内曲线是凹的, 因此曲线无拐点.例6. 求曲线3x y =的拐点. 解 (1)函数的定义域为(-∞, +∞); (2) 3231x y =', 3292x x y -='';(3)无二阶导数为零的点, 二阶导数不存在的点为x =0;(4)判断: 当x <0当, y ''>0; 当x >0时, y ''<0. 因此, 点(0, 0)曲线的拐点.§4. 4 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义:定义 设函数f (x )在区间(a , b )内有定义, x 0∈(a , b ). 如果在x 0的某一去心邻域内有f (x )< f (x 0), 则称f (x 0)是函数 f (x )的一个极大值; 如果在x 0的某一去心邻域内有f (x )>f (x 0), 则称f (x 0)是函数f (x )的一个极小值.设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 如果在去心邻域U (x 0)内有 f (x )<f (x 0) (或f (x )>f (x 0)),则称f (x 0)是函数 f (x )的一个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果f (x 0)是函数f (x )的一个极大值, 那只是就x 0 附近的一个局部范围来说, f (x 0)是f (x )的一个最大值; 如果就f (x )的整个定义域来说, f (x 0)不一定是最大值. 关于极小值也类似.极值与水平切线的关系: 在函数取得极值处, 曲线上的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方, 函数不一定取得极值.定理1 (必要条件)设函数f (x )在点x 0 处可导, 且在x 0 处取得极值, 那么这函数在x 0 处的导数为零, 即f '(x 0)=0.证 为确定起见, 假定f (x 0)是极大值(极小值的情形可类似地证明). 根据极大值的定义, 在x 0 的某个去心邻域内, 对于任何点x , f (x ) < f (x 0)均成立. 于是 当x < x 0 时)()(00>--x x x f x f ,因此 f '(x 0)0)()(lim 000≥--=-→x x x f x f x x ;当x > x 0 时0)()(00<--x x x f x f ,因此 0)()(lim)(0000≤--='+→x x x f x f x f x x ;从而得到 f '(x 0) = 0 .简要证明: 假定f (x 0)是极大值. 根据极大值的定义, 在x 0的某个去心邻域内有f (x )< f (x 0). 于是0)()(lim)()(00000≥--='='-→-x x x f x f x f x f x x ,同时 0)()(lim )()(00000≤--='='+→+x x x f x f x f x f x x ,从而得到f '(x 0) = 0 .驻点: 使导数为零的点(即方程f '(x ) = 0的实根)叫函数f (x )的驻点. 定理１就是说: 可导函数f (x )的极值点必定是函数的驻点. 但的过来, 函数f (x )的驻点却不一定是极值点. 考察函数f (x )=x 3在x =0处的情况.定理２(第一种充分条件)设函数f (x )在点x 0的一个邻域内连续, 在x 0的左右邻域内可导. (1) 如果在x 0的某一左邻域内f '(x )>0, 在x 0的某一右邻域内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值;(2) 如果在x 0的某一左邻域内f '(x )<0, 在x 0的某一右邻域内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值;(3)如果在x 0的某一邻域内f '(x )不改变符号, 那么函数f (x )在x 0处没有极值.定理２' (第一种充分条件)设函数f (x )在含x 0的区间(a , b )内连续, 在(a , x 0)及(x 0, b )内可导. (1)如果在(a , x 0)内f '(x )>0, 在(x 0, b )内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值; (2)如果在(a , x 0)内f '(x )<0, 在(x 0, b )内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值; (3)如果在(a , x 0)及(x 0, b )内 f '(x )的符号相同, 那么函数f (x )在x 0处没有极值.定理2''(第一充分条件)设函数f (x )在x 0连续, 且在x 0的某去心邻域(x 0-δ, x 0)⋃(x 0, x 0+δ)内可导.(1)如果在(x 0-δ, x 0)内f '(x )>0, 在(x 0, x 0+δ)内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值; (2)如果在(x 0-δ, x 0)内f '(x )<0, 在(x 0, x 0+δ)内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值; (3)如果在(x 0-δ, x 0)及(x 0, x 0+δ)内 f '(x )的符号相同, 那么函数f (x )在x 0处没有极值.定理2也可简单地这样说: 当x 在x 0的邻近渐增地经过x 0时, 如果f '(x )的符号由负变正, 那么f (x )在x 0处取得极大值; 如果f '(x )的符号由正变负, 那么f (x )在x 0处取得极小值; 如果f '(x )的符号并不改变, 那么f (x )在x 0处没有极值 (注: 定理的叙述与教材有所不同) . 确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数f '(x );(2)求出f (x )的全部驻点和不可导点;(3)列表判断(考察f '(x )的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值); (4)确定出函数的所有极值点和极值.例1求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值.解(1)f (x )在(-∞, +∞)内连续, 除x =-1外处处可导, 且 313)1(5)(+-='x x x f ;(2)令f '(x )=0, 得驻点x =1; x =-1为f (x )的不可导点; (3)列表判断(4)极大值为f (-1)=0, 极小值为343)1(-=f .定理3 (第二种充分条件) 设函数f (x )在点x 0处具有二阶导数且f '(x 0)=0, f ''(x 0)≠0, 那么(1)当f ''(x 0)<0时, 函数f (x )在x 0处取得极大值; (1)当f ''(x 0)>0时, 函数f (x )在x 0处取得极小值;证明 在情形(1), 由于f ''(x 0)<0, 按二阶导数的定义有0)()(lim)(0000<-'-'=''→x x x f x f x f x x .根据函数极限的局部保号性, 当x 在x 0的足够小的去心邻域内时,0)()(00<-'-'x x x f x f .但f '(x 0)=0, 所以上式即0)(0<-'x x x f .从而知道, 对于这去心邻域内的x 来说, f '(x )与x -x 0符号相反. 因此, 当x -x 0<0即x <x 0时, f '(x )>0; 当x -x 0>0即x >x 0时, f '(x )<0. 根据定理2, f (x )在点x 0处取得极大值. 类似地可以证明情形(2).简要证明: 在情形(1), 由于f ''(x 0)<0, f '(x 0)=0, 按二阶导数的定义有 0)(lim)()(lim)(0000<-'=-'-'=''→→x x x f x x x f x f x f x x x x .根据函数极限的局部保号性, 在x 0的某一去心邻域内有0)(0<-'x x x f .从而在该邻域内, 当x <x 0时, f '(x )>0; 当x >x 0时, f '(x )<0. 根据定理2, f (x )在点x 0处取得极大值.定理3 表明, 如果函数f (x )在驻点x 0处的二导数f ''(x 0) ≠0, 那么该点x 0一定是极值点, 并且可以按二阶导数f ''(x 0)的符来判定f (x 0)是极大值还是极小值. 但如果f ''(x 0)=0, 定理3就不能应用. 讨论: 函数f (x )=-x 4, g (x )=x 3在点x =0是否有极值？提示: f '(x )=4x 3, f '(0)=0; f ''(x )=12x 2, f ''(0)=0. 但当x <0时f '(x )<0, 当x >0时f '(x )>0, 所以f (0) 为极小值.g '(x )=3x 2, g '(0)=0; g ''(x )=6x , g ''(0)=0. 但g (0)不是极值． 例2 求函数f (x )=(x 2-1)3+1的极值. 解 (1)f '(x )=6x (x 2-1)2.(2)令f '(x )=0, 求得驻点x 1=-1, x 2=0, x 3=1.(3)f ''(x )=6(x 2-1)(5x 2-1).(4)因f ''(0)=6>0, 所以f (x )在x =0处取得极小值, 极小值为f (0)=0.(5)因f ''(-1)=f ''(1)=0, 用定理3无法判别. 因为在-1的左右邻域内f '(x )<0, 所以f (x )在-1处没有极值; 同理, f (x )在1处也没有极值.二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中, 常常会遇到这样一类问题: 在一定条件下, 怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题, 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.极值与最值的关系:设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间(a , b )内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间[a , b ]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.最大值和最小值的求法:设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , 则比较f (a ), f (x 1), ⋅ ⋅ ⋅ , f (x n ), f (b )的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值. 解 ⎩⎨⎧∈-+-⋃-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f ,⎩⎨⎧∈+-⋃-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f在(-3, 4)内, f (x )的驻点为23=x ; 不可导点为x =1和x =2. 由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0.例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=.设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ⋅CD +3k ⋅DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100).现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(2-+='x x k y . 2400xCD +=解方程y '=0, 得x =15(km).由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2100511500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则y =5k ⋅CD +3k ⋅DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005(2-+='x xk y =0, 得x =15.由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2100511500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.A B注意: f (x )在一个区间(有限或无限, 开或闭)内可导且只有一个驻点x 0 , 并且这个驻点x 0 是函数f (x )的极值点, 那么, 当f (x 0)是极大值时, f (x 0)就是f (x )在该区间上的最大值; 当f (x 0)是极小值时, f (x 0)就是f (x )在该区间上的最小值.应当指出, 实际问题中, 往往根据问题的性质就可以断定函数f (x )确有最大值或最小值, 而且一定在定义区间内部取得. 这时如果f (x )在定义区间内部只有一个驻点x 0, 那么不必讨论f (x 0)是否是极值, 就可以断定f (x 0)是最大值或最小值.例6 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁. 问矩形截面的高h 和宽b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W (261bh W =)最大?解 b 与h 有下面的关系: h 2=d 2-b 2,因而 )(6122b d b W -=(0<b <d ).这样, W 就是自变量b 的函数, b 的变化范围是(0, d ).现在, 问题化为: b 等于多少时目标函数W 取最大值？为此, 求W 对b 的导数: )3(6122b d W -='.解方程W '=0得驻点d b 31=. 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在, 而且在(0, d )内部取得; 现在, 函数)(6122b d b W -=在(0, d )内只有一个驻点, 所以当d b 31=时, W 的值最大. 这时, 2222223231d d d b d h =-=-=,即 d h 32=. 1:2:3::=b h d .解: 把W 表示成b 的函数:261bh W =)(6122b d b -=(0<b <d ).由0)3(6122=-='b d W , 得驻点d b 13-=.由于梁的最大抗弯截面模量一定存在, 而且在(0, d ) 内部取得; 现在函数W 在(0, d )内只有一个驻点d b 13-=, 所以当d b 13-=时, 抗弯截面模量W 最大, 这时d h 32=.。