中考数学专题复习——存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）(4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。

xyCB _ D_ AO三、二次函数中直角三角形的存在性问题5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4， 抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6.如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标； 若不存在，请说明理由.26题备用图26题图五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题7．如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

六、二次函数中菱形的存在性问题8．如图，抛物线经过原点O 和x 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与x 轴交于点D ． 直线y=﹣2x ﹣1经过抛物线上一点B （﹣2，m ）且与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点F ． （1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P （x ，y ）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P 的坐标；（3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由．y A B C O x七、二次函数中与圆有关存在性问题9.已知：抛物线y x m x m =+--+21264()与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）()x x x x 12120<<，， 它的对称轴交x 轴于点N （x 3，0），若A ，B 两点距离不大于6， （1）求m 的取值范围；（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在m 的值，使过点A 和点N 能作圆与y 轴切于点（0，1），或过点B 和点N 能作圆与y 轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m 的值，若不存在试说明理由定值问题：1.如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？ 如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， ∴14h k =-=-，。

（2）由（1）得()2=14y x +-.当=0y 时，()2140x +-=． 解之，得1231x x =-=， 。

∴A(30)B 10- ，，(，).又当0x =时，()()22=140143y x +-=+-=-， ∴C 点坐标为（0，－3）。

又抛物线顶点坐标D （－1，－4），作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF ⊥ y 轴于点F 。

易知 在Rt △AED 中，AD 2=22+42=20，在Rt △AOC 中，AC 2=32+32=18，在Rt △CFD 中，CD 2=12+12=2， ∴AC 2＋ CD 2＝AD 2。

∴△ACD 是直角三角形。

（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。

由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝450，AC 1832==。

由△AOM ∽ △ABC ，得AO AMAB AC =。

即3AM 9,AM 24432== 。

过M 点作MG ⊥AB 于点G ，则AG=MG=29281942164⎛⎫⎪⎝⎭==， OG=AO －AG=3－9344=。

又点M 在第三象限，所以M （－34，－94）。

2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，∵抛物线过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0）可得 42=093=3=0a b c a b c c -+⎧⎪-+⎨⎪⎩，解得 =1=2=0a b c ⎧⎪⎨⎪⎩。

∴抛物线的解析式为22y x x =+。

（2）①当AE 为边时，∵A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2， 则D 在x 轴下方不可能，∴D 在x 轴上方且DE=2，则D 1（1，3），D 2（﹣3，3）。

②当AO 为对角线时，则DE 与AO 互相平分。

∵点E 在对称轴上，且线段AO 的中点横坐标为﹣1，由对称性知，符合条件的点D 只有一个，与点C 重合，即C （﹣1，﹣1）。

故符合条件的点D 有三个，分别是D 1（1，3），D 2（﹣3，3），C （﹣1，﹣1）。

（3）存在，如图：∵B （﹣3，3），C （﹣1，﹣1），根据勾股定理得： BO 2=18，CO 2=2，BC 2=20，∴BO 2+CO 2=BC 2．∴△BOC 是直角三角形。

假设存在点P ，使以P ，M ，A 为顶点的 三角形与△BOC 相似， 设P （x ，y ），由题意知x ＞0，y ＞0，且22y x x =+，①若△AMP ∽△BOC ，则AM PMBO CO=。

即 x +2=3（x 2+2x ）得：x 1=13，x 2=﹣2（舍去）．当x =13时，y =79，即P （13，79）。

②若△PMA ∽△BOC ，则，BO PMCO BO=。

即：x 2+2x =3（x +2）得：x 1=3，x 2=﹣2（舍去） 当x =3时，y =15，即P （3，15）．故符合条件的点P 有两个，分别是P （13，79）或（3，15）。

3、【答案】解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入kyx=得，22k-=-，∴k＝4。

∴双曲线的解析式为：4yx=。

设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。

又∵tan∠AOX＝4，∴错误!未找到引用源。

＝4，即m＝4n。

∴n2＝1，∴n＝±1。

∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。

∴A点的坐标为（1，4）。

把A、B点的坐标代入2y ax bx=+得，4422a ba b+=⎧⎨-=-⎩，错误!未找到引用源。

解得，a＝1，b＝3。

∴抛物线的解析式为：23y x x=+。

（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y＝4，代入23y x x=+得方程，2340x x+-=，解得x1＝－4，x2＝1（舍去）。

∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。

又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝错误!未找到引用源。

×5×6＝15。

（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。

理由如下：过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。

∵直线AB相应的一次函数是：22y x=+，且CD∥AB，∴可设直线CD解析式为2y x p=+，把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，12p=。

∴直线CD相应的一次函数是：212y x=+。

解方程组23212y x xy x⎧=+⎨=+⎩，解错误!未找到引用源。

得，318xy=⎧⎨=⎩。

∴点D的坐标为（3，18）。

4.（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求（2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1，易求AM BM ==122ABMS=⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有：214422AD x -=⨯，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±0x =，故符合条件的P点有三个：123((0,4)P P P --5.解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：y=x+1，∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，）；（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；②如图：ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则有：m2﹣2m﹣2=，解得：m1=，m2=，∴P1（，），P2（，），ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：n2﹣2n﹣2=﹣，解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），∴P3（，），综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．6.解：（1）∵当x=0时，y=3 当y=0时，x=﹣1 ∴A（﹣1，0），B（0，3）∵C（3，0）··························1分设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）∴3=a×1×（﹣3）∴a=﹣1∴此抛物线的解析式为y=﹣（x + 1）（x﹣3）=-x2+2x+3·····2分（2）存在∵抛物线的对称轴为：x=231+-=1···············4分∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1∵OA=OQ1，BO⊥AQ1∴AB=Q1B∴Q1（1，0）··························6分当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m）∴22+m2=12+（3﹣m）2∴m=1∴Q2（1，1）··························8分当Q3A=AB时，设Q3（1，n）∴22+n2=12+32∵n＞0 ∴n=6∴Q3（1，6）∴符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1，6）·10分7、答案：[解] (1) 根据题意，将A (-21，0)，B (2，0)代入y = -x 2+ax +b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--02402141b a b a ，解这个方程，得a =23，b =1，∴该拋物线的解析式为y = -x 2+23x +1，当 x =0时，y =1，∴点C 的坐标为(0，1)。