第二十三章 波粒二象性 应晓编第二十二章波粒二象性习题解答一、 选择填空题 1、 波长为300nm 的紫外线照射金属表面时，产生光电效应的光电子的能量在0到4.0⨯10-19J 的范围内，则此金属产生光电效应的红限频率是104 14Hz ⨯。

解：由题意知，光电子的最大动能为：J mV m 92100.421-⨯= 由光电子效应爱因斯坦方程：221m mV h A -=ν 红限频率：h A =0νhmV hv 221-=2． 康普顿实验中，当能量为0.5MeV 的X 射线射中一个电子时，该电子获得0.10MeV 的动能。

假设原电子是静止的，则散射光的波长λ1= 1010.33nm -⨯,散射光与入射方向的夹角ϕ=4841 /（1MeV=106eV ）。

解：（1）设散射光能量为E 1，依题意有,11λchE =反冲电子的能量为MeV E E e e 10.0=， 入射x 射线光子的能量为E 0，MeV E 50.00=根据能量守恒：e E E hc-=01λnmm E E hc e312196834011010.31010.31060.110)10.005.0(1031063.6----⨯=⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-=λ （2）2sin 22001ϕλλ c m h =-由由,00λchE =nmm E hc312196834001048.21048.21060.11005.01031063.6----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==λ /0210104841)2)(arcsin(2=-=hc m λλϕ3． 入射的X 射线光子的能量为0.60MeV ，被自由电子散射后波长变化了20%，则反冲电子的动能为 0.10MeV 。

解：由题意知，Hzh m V c h m V c h 14341998221041063.6100.4103001032121 ⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=-=---λλ%200=∆λλ,002.1λλλλ=∆+=入射光子能量MeV hcE 60.000==λ散射光子能量λhcE =反冲电子动能为E k ，根据能量守恒：)(10.061)(0000010MeV E E hc hchcE E E k ==∆=-=-=-=λλλλλλλλ4． 当λ=0.0050 nm 的γ射线，以α=90 0的角度被自由质子散射时，求它的波长的改变∆λ= 1032.16nm -⨯。

波长的变化率%0264.0=∆λλ。

已知中子的质量m 0=1.67⨯10-27kg 。

.解：由自由质子散射公式为%0264.01064.2005.01032.11032.11032.1)90cos 1(1031067.11063.6)cos 1(466150827340=⨯=⨯=∆⨯=⨯=-⨯⨯⨯⨯=-=∆------λλθλnm m cM h说明γ射线被自由质子散射时，波长改变并不显著。

5. 室温(300K)下的中子称为热中子。

中子的质量为m ，则此热中子的德布罗意波长为（ A ）。

A.m kT h 3=λ;B. m kTh5=λ;C. h mkT3=λ; D. hm kT5=λ。

解：由能量均衡原理知, 热中子的平均动能为：kT E k 23= 根据德布罗意公式：mkThmE h mv h k 32===λ6．电子显微镜的加速电压为40kV ，经过这一电压加速的电子的德布罗意波长为（ B ）。

A. 40⨯103meh; B.me h 4108⨯=λ;C.me h 2104⨯=λD.meh 4104⨯=λ;解：经过电压U 加速后，电子动能为meU u eU m u 2212==根据德布罗意公式，此时电子波的波长为mehemUh mv h41082⨯===λ7． α粒子在均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，磁场的磁感应强度为B ，则α粒子的德布罗意波长λ=2 eBRh 。

解：α粒子在磁场中受洛仑兹力R v m evB 22=eBRh m v h eBRm v 22===λ 8． 原子的线度为10-8cm ，那么原子中电子的速度不确定量是( C ）。

A.1.16⨯104m s -1; B.2.16⨯104m s -1; C.0.58⨯106m s -1; D.2.16⨯106m s -1; 解：说“电子在原子中”就意味着电子的位置不确定量为,1010m x -=∆由不确定关系可得)/(1058.0101011.921005.126103134s m x m V x ⨯=⨯⨯⨯⨯=∆=∆---按照牛顿力学计算，氢原子中电子的轨道运动速度约为106m/s ，它与上面的速度不确定量有相同的数量级。

可见对原子范围内的电子，谈论其速度是没有什么实际意义的。

这时电子的波动性十分显著，描述它的运动时必须抛弃轨道概念而代之以说明电子在空间的概率分布的电子云图象。

9. 波长为400nm 的一谱线，测得其谱线的宽度为10—5nm ，那么辐射该谱线的原子系统在相应的能级上停留的平均时间是 1042.0 8s -⨯。

解：根据能量与时间不确定关系为2.≥∆∆t E 依题意，有2)()(λλλ∆=∆=∆=∆hc hchv Esc hc h E t 895829221042.010101034)10400(442----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆=∆≥∆πλπλλλπ二． 计算题 1． 波长为200nm 的光照射到铝表面上，对铝来说，移去一个外层电子所需的能量为4.2eV 。

求：（1） 出射的光电子的最大动能是少？ （2） 遏止电压为多少？ （3） 铝的截止波长为多少？（4） 如果入射光强为2.0Wm -2，单位时间内落到单位面积上的平均光子数为多少？解：（1）波长为200nm 的一个光子的能量)(20.6)(1094.9100.2100.31063.6197834eV J hch E ≈⨯=⨯⨯⨯⨯===---λν 由爱因斯坦方程：A mv h +=221ν知, 出射光子的能量为：)(0.22.420.6212eV A h mv =-=-=ν（2）因||212a U e mv = 故遏止电压)(2212V e mvU a ==（3）截止频率：hA=0υ截止波长：)(2.2952002.42.60nm A hv A hC =⨯===λλ（4）因 S=Nhv所以).(1021094.92121819---⨯=⨯==s m hv S N 2． 波长350nm 的光照射某种金属的表面，我们选择一定的遏止电压来“截止”光电流。

当光的波长变化50nm 时，为使光电流再次中止，遏止电压必须增加0.59V ，试求电子的电量。

解：根据爱因斯坦方程A mv h +=221ν 及 ||212a U e mv =有 A U e hv a +=||A U e cha +=||λ（1）如照射光的波长变为λ/，则有A U e cha +=|'|'λ （2）联立式（1）、（2）有''/a U e hc ∆=-λλλλaU hce '∆⋅∆-∆=1)(λλλλ )(10605.159.0103105.31051031063.619778834C -----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 3． 波长λ0=0.01nm 的X 射线与静止的自由电子碰撞。

在与入射方向成900角的方向上观察时，散射X 射线的波长多大？反冲电子的动能和动量各如何？ 解：将090=ϕ代入下式cc c λλϕλλλλ=-=-=-=∆)90cos 1()cos 1(0由此得康普顿散射波长为)(0124.00024.001.00nm c =+=+=λλλ至于反冲电子，根据能量守恒，它所获得的动能E k 就等于入射光子损失的能量，即λλλλλνν000)11(∆=-=-=hc hc h h E k)(104.2)(108.3100124.01001.0100024.01031063.6415999834eV J ⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-----第二十二章 波粒二象性 应晓编计算电子的动量，可参看图22-1，其中P e 为电子碰撞后的动量。

根据动量守恒，有λθλθhP hP e e ==sin ,cos 0两式平方相加并开方，得h P e λλλλ021220)(+=)/(105.81063.6100124.01001.0])100124.0()1001.0[(2334992/12929s m kg ⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=------78.0105.81001.01063.6cos 23934=⨯⨯⨯⨯==---λθe P h由此得 θ=38044/图22-14*.光电效应与Compton 效应都包含有电子与光子的相互作用。

紫外可见光照射金属表面可以产生光电效应；x 射线γ射线经过金属时可以产生Compton 散射。

（1） 计算当α=90 0时对于可见光（λ=500nm ）和具有λ=0.0050 nm 的γ射线的Compton 位移，从而说明可见光的Compton 效应很不显著。

（2） 如果用具有λ=0.0050 nm γ射线照射金属表面，能否产生光电效应？（3） 试用动量守恒和能量守恒定律证明：一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。

解：（1）将090=ϕ代入Compton 散射公式，可见光与γ射线的波长变化均为：)(00243.0)90cos 1()cos 1(00nm c c =-=-=-=∆λϕλλλλ可见光的波长变化率%0486.01086.450000243.040=⨯==∆-λλγ射线的波长变化率%6.481086.4005.000243.010=⨯==∆-λλ由此可见，可见光的波长变化率非常小，仅为0.0468%，比γ射线的波长变化率小1000倍，说明可见光的Compton 效应很不显著，实验上难以观察到。

（2）不能产生光电效应。

由于在金属中，有许多和原子核联系较弱的电子可以看作自由电子。

金属中电子的热运动平均动能与入射的γ射线光子的能量比起来可以忽略不计，自由电子碰撞前可假定是静止的，因而光电效应可以看作光子与自由电子的相互作用。

严格证明见（3）。

（3）用反证法。

假定一个自由电子能一次完全吸收一个光子。

根据光子理论，一个自由电子吸收一个光子的过程可以看作一个自由电子与一个光子发生完全弹性碰撞，因此应满足动量守恒和能量守恒。

设光子频率为ν，一个光子具有能量h ν，θ0ehλehλyxeep第二十二章 波粒二象性 应晓编动量i chν；自由电子碰撞前可假定是静止的，一个电子的静止能量为20c m ，动量为零。

在设弹性碰撞后，电子的能量变为2mc ，动量为i mv，参见图22-2，根据能量守恒有，)1(202νh c m mc +=动量守恒有，)2(Ch mv ν=)3()(120Cv m m -=（1），（2），（3）式联立求解得： C v =图22-2这与电子速度v<C 矛盾，因此一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。