《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

（Ａ）ＡＢＣ；（Ｂ）（Ａ＋Ｂ）Ｃ；（Ｃ）ＡＴ（Ｂ＋ＣＴ）；（Ｄ）ＢＣＡＴ。

16.若方阵Ａ与方阵Ｂ等价，则（）。

（Ａ）秩（Ａ）＝秩（Ｂ）；（Ｂ）det（λＥ－Ａ）＝det（λＥ－Ｂ）；（Ｃ）det（Ａ）＝det（Ｂ）；（Ｄ）存在可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ。

17.若４阶方阵Ａ的行列式等于零，则（）。

（Ａ）Ａ中至少有一行是其余行的线性组合；（Ｂ）Ａ中每一行都是其余行的线性组合；（Ｃ）Ａ中必有一行是零行；（Ｄ）Ａ的列向量组线性无关；18.若ｎ维向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，则（）。

（Ａ）组中增加一个向量后也线性无关；（Ｂ）组中去掉一个向量后也线性无关；（Ｃ）组中只有一个向量不能由其余向量线性表出； （Ｄ）ｍ＞ｎ。

19.若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++020202321321321x x x x x x x x x λ存在基础解系，则λ等于（ ）。

（Ａ）２； （Ｂ）３； （Ｃ）４； （Ｄ）５。

20.若ｍ×ｎ矩阵Ａ的秩ｒ＜ｎ，则方程组ＡＸ＝０的基础解系所含向量个数等于（ ）。

（Ａ）ｒ； （Ｂ）ｍ－ｒ； （Ｃ）ｎ－ｒ； （Ｄ）ｒ－ｎ。

21.设Ａ为ｍ×ｎ矩阵，则非齐次线性方程组ＡＸ＝ｂ有唯一解的充要条件是（ ）。

（Ａ）方程组ＡＸ＝０只有零解；（Ｂ）Ａ的列向量组线性无关，而A 的列向量组线性相关； （Ｃ）向量ｂ可由Ａ的列向量组线性表出； （Ｄ）ｍ＝ｎ。

22.ｆ（ｘ）＝det ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--x x x x 102312中ｘ２项的系数是（ ）。

（Ａ）２； （Ｂ）－２； （Ｃ）－３； （Ｄ）１。

二、填空题1.11135692536= . 2.设A =111111--⎛⎝⎫⎭⎪，B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.则A +2B = .3.设A =(a ij )3×3，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= . 4.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .5.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .6.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .7.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的积（α+β，α-β）= .8.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .9.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .10.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规形为 .11.若向量组α１＝（１，０，０），α２＝（２，２，４），α３＝（１，３，ｔ）线性相关，则ｔ＝ 。

12.设Ａ、Ｂ均为３阶方阵，det （Ａ）＝３，det （Ｂ）＝－２，则det （－２ＡＴＢ－１）＝ 。

13.设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021321，Ｂ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-414201，则ＡＢＴ＝ 。

14.设Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡103020208，*A 为Ａ的伴随矩阵，则det （*A ）＝ 。

15.设Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--235213324，Ｂ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--135223323，则Ａ２＋Ｂ２－ＡＢ－ＢＡ＝ 。

16.ｎ元齐次线性方程组ＡＸ＝０存在非零解的充要条件是 。

17.矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----4510702451301032的秩等于 。

三．计算题1.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求（1）AB T；（2）|4A |. 2.试计算行列式3112513420111533------.3.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .4.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

5.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：（1）秩（A ）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。

6.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D .7.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--，并写出所用的满秩线性变换。

8.已知矩阵Ａ满足：Ａ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-8001，求矩阵Ａ。

9.计算aa a a a 1111111111110.若向量组α１＝（１，１，２，－２），α２＝（１，－１，６，０），α３＝（１，３，－ｘ，－２ｘ）的秩为２，求ｘ的值。

11.求下列向量组的一个最大无关组，并用最大无关组线性表出组中其余向量：α１＝（２，１，３，１），α２＝（１，２，０，１），α３＝（－１，１，－３，０），α４＝（１，１，１，１）。

12.求下列方程组的通解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=--+=+-+=+-13413212302432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x四、证明题1.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2.2.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。

3.设α１，α２，α３是齐次线性方程组ＡＸ＝０的基础解系。

证明：β１＝α１＋α２，β２＝α２＋α３，β３＝α３＋α１也是ＡＸ＝０的基础解系。

《线性代数》作业参考答案一、单项选择题1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 15.C16.A 17.A 18.B 19.D 20.C 21.B 22.A 二．填空题 1. 6 2. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪3. 44. –105. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数6. n -r7. –58. –29. 110. z z z z 12223242++-11. ｔ＝６12. Ａ、Ｂ均为３阶方阵，13. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6114714. １６15. Ｅ３16. 秩（Ａ）＜ｎ 17. 2 三．计算题1.解（1）AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. （2）|4A |=43|A |=64|A |，而|A|=1203401212-=-.所以|4A|=64·（-2）=-1282.解311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550----=5116205506255301040 ---=---=+=.3.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=(A-2E)-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=386 296 2129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.4.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.5.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。