第八节相似多边形的周长比和面积比第十课时●课题§4.8.1 相似多边形的性质（一）●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似多边形的性质.2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.●教学难点相似三角形的性质的运用.●教学方法引导启发式●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.8.1 A）第二张：（记作§4.8.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.8.1 A））B A '',C B '',C A ''各等于多少？）DC ''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流图4－38［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43（2）△ABC ∽△A ′B ′C ′∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）（4）D C CD ''=43∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD ''= C B BC ''=43 2.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD''等于多少？（2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它们的对应高，那么DCCD''=CBBC''=k.［生乙］如4－39图，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，那么DCCD''=CAAC''=k.图4－39∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.∴∠ACD=∠A′C′D′∴△ACD∽△A′C′D′∴DCCD''=CAAC''=k.［生丙］如图4－40中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则DCCD''=CAAC''=k.图4－40∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A=∠A′，CAAC''=BAAB''=k.∵CD、C′D′分别是中线∴DAAD''=BAAB''2121=BAAB''=k.∴△ACD ∽△A ′C ′D ′∴D C CD ''= C A AC''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解投影片（§4.8.1 B ）图4－41如图4－41所示，在等腰三角形ABC 中，底边BC =60 cm,高AD =40 cm ，四边形PQRS 是正方形.（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）求正方形PQRS 的边长. 解：（1）△ASR ∽△ABC ，理由是： 四边形PQRS 是正方形SR ∥BC（2）由（1）可知△ASR ∽△AB C.根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得BCSRAD AE =设正方形PQRS 的边长为x cm ，则AE =（40－x ）cm ， 所以604040xx =- 解得： x =24所以，正方形PQRS 的边长为24 cm.Ⅲ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）. Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业 习题4.10.1.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′,BD 和B ′D ′是它们的对应中线，且C A AC ''=23. ∴D B BD ''= C A AC ''=23∴234=BD ∴BD =62.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′,AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，且AD =8 cm, A ′D ′=3 cm.∴D A AD ''= B A AB '',设△ABC 与△A ′B ′C ′对应高为h 1,h 2.∴B A AB ''=21h h ∴21h h =D B A ABD '''=38. Ⅵ.活动与探索图4－42如图4－42，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD'' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？ 解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD ''∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′ ∴∠BAC =∠B ′A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计§4.8.1 相似多边形的性质（一）一、1.做一做 2.议一议 3.例题讲解 二、课堂练习 三、课时小节 四、课后作业●备课资料如图4－43，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图4－43（1）则图中有几对相似三角形. （2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD . （3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD . 解：（1）∵CD ⊥AB∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90° 在△ADC 和 △ACB 中 ∠ADC =∠ACB =90° ∠A =∠A∴△ADC ∽△ACB同理可知，△CDB ∽△ACB ∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形. （2）∵△ACD ∽△CBD ∴BDCDCD AD即BD669=∴BD =4 （cm ）（3）∵△CBD ∽△ABC ∴BC BD BA BC =. ∴152515BD = ∴BD =251515⨯=9 （cm ）.第十一课时●课 题§4.8.2 相似多边形的性质（二） ●教学目标（一）教学知识点1.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用. （二）能力训练要求1.经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似多边形的性质解决实际问题训练学生的运用能力. （三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识. ●教学重点1.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似多边形的比例关系解决实际问题. ●教学难点相似多边形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用. ●教学方法 引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.●教具准备 投影片四张 第一张：（记作§4.8.2 A ） 第二张：（记作§4.8.2 B ） 第三张：（记作§4.8.2 C ） 第四张：（记作§4.8.2 D ）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题. 1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流. ［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等. ［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？ ［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解 1.做一做投影片（§4.8.2 A ）图4－44在图4－44中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段.（2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？（3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC .∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴C A C B B A ACBC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CDAB S S C B A ABC . 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议投影片（§4.8.2 B ）.如图4－45，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .图4－45（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？ △A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？ 如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k . ∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2 ∴2211221122112211D A DA D C D C CBC B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2. ∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2. 在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中 ∵22112211C B CB B A B A = ∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. ∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k . （3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论. 由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4.做一做投影片（§4.8.2 C ）图4－46是某城市地图的一部分，比例尺为1∶100000.（1）设法求出图上环形快速路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长度. （2）估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流.图4－46解：（1）量出图上距离约为20 cm ，则实际长度约为20千米.（2）图上区域围成的面积约为23.7 cm 2.根据相似多边形面积的比等于相似比1∶100000的平方，则实际区域的面积约为23.7平方千米.Ⅲ.随堂练习投影片（§4.8.2 D ）在设计图上，某城市中心有一个矩形广场，设计图的比例尺是1∶10000,图上矩形与实际矩形相似吗？如果相似，它们的相似比是多少？图上矩形与实际矩形的周长比是多少？面积比呢？答案：相似，相似比是1∶10000. 周长比是1∶10000. 面积比是1∶100002. Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似多边形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业 习题4.11预习位似图形的定义、性质. Ⅵ.活动与探究如图4－47已知，M 是□ABCD 的AB 边的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD 的面积比是多少？图4－47过程：这是一道综合性较高的题目，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定理等，所以让学生进行讨论、总结，利用所学知识解决这个问题.讨论结果：作DN ⊥AB 于N ，过E 作GF ⊥AB 于F . ∵M 为AB 中点∴S △AMD =S △DMB =21S △ABD =41S □ABCD ∵S △MBD =S △MBC （同底等高的两个三角形面积相等）. ∴S △MBD －S △MBE =S △MBC －S △MBE 即S △DME =S △CBE因此图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比是31. ●板书设计§4.8.2 相似多边形的性质（二）一、1.做一做 2.想一想 3.议一议 4.做一做二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业●备课资料 参考例题［例1］如图４－48，在△ABC 中EF ∥BC 且EF =32BC =2 cm ， △AEF 的周长为10 cm ，求梯形BCFE 的周长.图4－48解：∵EF =32BC ∴32=BC EF ∵EF ∥BC ∴△AEF ∽△ABC 32==∆∆BC EF ABC AEF 周长周长∴3210=∆周长ABC ∴△ABC 周长=15 （cm ）∴梯形BCF 的周长=△ABC 的周长－△AEF 的周长+2EF =15－10+4=9 （cm ） ［例2］如图4－49△ABC 中，DE ∥BC ，S △ADE ∶S △ABC =4∶9 （1）求AE ∶EC ;（2）求S △ADE ∶S △CDE .图4－49解：（1）∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC 又∵94=∆∆ABC ADE S S ∴32=AC AE ∴23=AE AC 21=-AE AE AC即21=AE EC ∴AE ∶EC =2∶1（2）连结CD ，过D 作DH ⊥AC 交AC 于H122121==⋅⋅=∆∆CE AE DH CE DHAE S S CDEADE参考练习如图4－50平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ∶EC =3∶1，S △FBE =18,求S △FDA .图4－50答案：32§4.8 相似多边形的周长比和面积比班级：_______ 姓名：_______一、请你填一填（1）若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =4，BC =5，AC =6，△A ′B ′C ′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A ′B ′C ′的周长是________.图4—8—1（2）两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________.（3）如图4—8—1，在ABCD 中，延长AB 到E ，使BE =21AB ，延长CD 到F ，使DF =DC ，EF 交BC 于G ，交AD 于H ，则△BEG 与△CFG 的面积之比是________.（4）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍.二、认真选一选(1)如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）A.2∶1B.3∶1C.2∶1D.4∶1图4—8—2 图4—8—3(2)如图4—8—3，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，△ADE 和四边形BCED 的面积分别记为S 1、S 2，那么21S S 的值为（ ） A.21 B.41 C.31 D.32图4—8—4(3)如图4—8—4，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB∶AC等于（）A.1∶3B.1∶4C.1∶3D.1∶2(4)顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（）A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶2三、灵机一动！哇……某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.四、用数学眼光看世界如图4—8—5，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？图4—8—5 参 考 答 案一、（1）2∶5 37.5 (2)75 (3)1∶16 (4)22二、（1）C (2)C (3)C (4)D三、解：设这块矩形绿地的面积为S ，在甲、乙两张规划图上的面积分别为S 1、S 2则S S 1=（2001）2，S S 2=（5001）2∴S 1=40000S ，S 2=250000S∴S 1∶S 2=40000S ∶250000S =41∶251=25∶4即：这块草地在甲、乙两张图上的面积比为25∶4 四、解：设这个正方形材料的边长为x cm 则△P AN 的边PN 上的高为（8－x ） cm ∵由已知得：△APN ∽△ABC ∴BC PN =AD x -8，即12x =88x -解得：x =4.8 答：这个正方形材料的边长为4.8 cm.。