23组公司的最优投资方案摘要本文讨论了公司的投资方案，属于经济模型中的决策模型。

我们根据原始数据利用Excel软件进行了统计分析，利用时间序列预测模型中的指数平滑预测法进行预测，得出了历年来各项目独立投资和一些项目在相互影响下投资时的到期利润率，建立数学模型，得到了投资预测的最优方案。

对于问题一，我们综合考虑公司现有的资本，以及公司的收益，以公司在第五年年末所回收的本利和最大为目标函数，每年的投资上限为约束条件，这属于线性规划中的最优解问题。

然后利用Lingo编程求得公司在第五年年末获根据往年数据，利用指数平滑预测法预测了今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率，以样本数据的方差值作为各项目的风险损失率，运用C语言和Matlab编程求出到期利润率，并利用Excel求出风险损失率，其具体结果见附录五。

对于问题三，我们根据题目要求以及附录一中表四的数据，建立同问题一相同的模型，同样以公司在第五年年末所回收的本利和最大为目标函数，以当时的投资要求为约束条件，求出最后使公司获得的最大利润为36.6596亿元，最佳投资方案见附录七，对于问题四，在问题一和问题二的基础上，我们用同样的思想建立模型，只需要改变部分约束条件，考虑到投资越分散，总的风险越小，目标函数相同，依照此方案使得公司获利最大为18.2621亿元，其最优投资方案见附录九。

对于问题五，我们根据题目要求，建立了投资决策模型，网上查到银行的贷款和存款的利润率，建立以上相同的目标函数，求出能使公司获得最大利润为18.06445亿元，最优投资方案见附录十。

投资决策，最终获利，这是当今社会大家都关心的问题，我们根据题目中的数据，建立了时间序列预测模型，充分利用指数平滑预测法，并结合Excel、Lingo、C和Matlab等多种软件辅助分析和计算，最后获得不同情况下的最优投资方案。

关键词：最优投资方案线性规划时间序列预测模型指数平滑预测法方差模型风险决策1.问题重述1.1问题的背景与提出某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。

其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。

一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见附录一中的表1。

试根据实验数据确定5年如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。

8个项目独立投资的往年数据见附录一中的表2。

同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见附录一中的表3。

(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。

三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。

对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。

项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。

各投资项目的投资上限见附录一中的表4。

在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。

如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?1.2需要解决的问题题目附录一中给出了该公司从1986年到2005年，历年来在不同的投资方式下对各项目的投资额和到期利润。

根据这些数据和我们利用Excel对数据处理后的结果，我们需要通过采用数学建模的方法来帮助解决以下问题：问题一：根据表一，确定合理的投资方案，使得公司在第五年获得最大的利润。

问题二：根据往年的数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率，风险损失率。

问题三：根据问题二的预测结果，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资，同时项目5的投资额固定为500万，可重复投资，设计合理的投资方案，使得第五年末的利润最大。

问题四：在考虑投资风险时，要使公司的总投资风险最小，公司决定将投资分散，这种情况下，重新决策问题三的投资问题。

问题五：公司为降低投资风险，可拿部分资金存入银行，同时为获得更高的利益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，设计合理的投资方案，同样使得公司在第五年获得利润最大。

2.模型假设1.假定在投资期，我们只考虑不可预测因素引起的平均风险损失；2.假定投资项目以及银行的利润率在预测期是稳定不变的；3.假定在投资一个项目后，回收后才能继续投资；4.假定题目附录一中给定的数据真实可靠，具有较好的代表性。

3.符号说明iS：第i 年回收的本金和利息的总金额 (i=1,2,3,4,5) i jX：第i 年对第j 个项目投资的金额 （j=1,2,3,4,5,6,7,8,）iT：第i 年对所有项目投资的总金额 jp：第j 个项目到期的年利润率iα：时间序列{}ty 的权数 （i=1,2,3,4,5,6,7,8）i jq：各项目预计的到期年利润率(i=1,2,3,4,5 j=1,2,3,4,5,6,7,8) jQ：各项目的风险损失率 （j=1,2,3,4,5,6,7,8)i jT：第i 年投资第j 个项目的实际利润率 （1,2,,5i =L 1,2,,8j =L ）i j P ：第i 年投资第j 个项目后到期的利润率 （1,2,,5i =L 1,2,,8j =L ）i C ： 投资商第i 年向银行的存款金额 （i=1,2,3,4,5,6,7,8） i D ： 投资商第i 年向银行的贷款金额 （i=1,2,3,4,5,6,7,8）4.数据处理与分析题目附录中给出了各种投资项目的方案以及投资上限，我们利用Excel 软件对这些数据进行了相关统计分析，得到了相关信息如下：通过对附录一中表二的数据运用Excel 进行分析，并利用Matlab 编程（见附录二），得到从1986年到2005年各项目独立投资时，每年这八个项目的年利润率如下表所示：各投资项目独立投资时历年的年利润率项目 123456781986 利润率 0.16 0.02 0.31 0.16 -1.8279 1.8527 3.2379 1.7999 1987 利润率 0.17 0.02 0.44 0.19 0.6743 -0.212 2.11.94581988 利润率0.15 0.11 0.38 0.16 -0.6035 -1.3409 7.2863 2.30061989 利润率0.15 0.1 0.13 0.24 2.0032 0.6691 2.6132 -1.7757 1990 利润率0.15 0.07 0.54 0.2 3.5852 1.371 -3.2187 -0.5118 1991 利润率0.17 0.12 0.43 0.21 0.7418 -1.4385 2.8636 0.4314 1992 利润率0.13 0.12 0.24 0.18 1.6101 0.2004 -9.5445 4.2252 1993 利润率0.21 0.17 0.46 0.32 1.6473 0.9475 5.6174 4.0647 1994 利润率0.09 0.16 0.37 0.24 1.3885 -0.3611 -5.7808 1.5013 1995 利润率0.15 0.18 0.2 0.17 1.3926 0.3061 13.5167 3.0283 1996 利润率0.13 0.19 0.55 0.34 1.3781 1.3683 -3.1578 1.0114 1997 利润率0.15 0.15 0.23 0.29 0.699 0.7515 18.4486 2.494 1998 利润率0.18 0.19 0.25 0.33 0.737 1.3867 -4.277 -1.1981 1999 利润率0.1 0.19 0.26 0.31 -0.1614 1.4925 -4.8448 -1.3717 2000 利润率0.14 0.21 0.52 0.26 1.0399 1.2999 2.8296 5.186 2001 利润率0.18 0.25 0.52 0.32 1.2155 1.3099 -9.6076 2.6736 2002 利润率0.15 0.2 0.27 0.34 0.6483 1.0457 17.5468 -2.1394 2003 利润率0.1 0.18 0.26 0.37 0.9291 1.108 3.9019 2004 利润率0.19 0.18 0.32 0.422005 利润率0.13 0.15表5.1.1我们选择项目一历年来的利润率利用Excel作XY散点图，图形如下图1所示，可见历年来，项目一的利润率变化波动比较大，同样的操作，发现所有项目的年利润率波动都比较大。

图1同理可得出，项目3、4，项目5、6，项目5、6、8这三组项目同时投资时，1986年到2005年每年的年利润率如下表所示：一些投资项目同时投资时历年的年利润率项目同时投资项目3、4 同时投资项目5、6 同时投资项目5、6、83 4 5 6 5 6 81986 利润率0.2382 0.4667 0.3313 0.8736 1.5345 0.8431 -0.6299 1987 利润率0.4316 0.4487 0.4023 0.5373 -0.5162 2.7677 2.7474 1988 利润率0.4909 0.4289 0.0741 3.1593 0.8019 0.4133 -0.7456 1989 利润率0.3237 0.4116 0.0853 0.6051 0.7442 0.2096 2.6442 1990 利润率0.2939 0.4705 0.0966 -1.0626 -0.137 -0.7665 -0.3023 1991 利润率0.4576 0.4856 1.4893 1.4686 2.98 0.8915 1.1496 1992 利润率0.6754 0.4382 0.0547 0.1653 0.8173 -0.0272 2.394 1993 利润率0.4721 0.4819 0.9247 -0.6552 0.5672 -0.0525 4.0504 1994 利润率0.3255 0.4587 -0.1934 0.3803 1.4398 3.0087 2.321 1995 利润率0.5396 0.393 1.2451 0.0109 0.7058 0.4242 1.6538 1996 利润率0.6391 0.3232 0.182 0.2019 -0.5106 1.5149 2.58471997 利润率 0.3096 0.4485 -0.0167 2.1279 -0.5783 0.7833 1.7064 1998 利润率 0.7319 0.3939 0.9724 0.36191.01590.87192.603 1999 利润率 0.5624 0.4364 1.9492 -0.6544 -0.2483 2.0649 -0.5439 2000 利润率 0.2636 0.3911 1.0063 1.69440.88070.38742.38952001 利润率 0.5209 0.3821 1.3142 -1.0841 1.7369 -0.7481 -1.0064 2002 利润率 0.6167 0.4531 0.285 3.311 0.615 0.1688 0.8263 2003 利润率 0.4650.4419 1.27851.54932.1836 0.9168 0.7111 2004 利润率 0.4709 0.4745表5.1.2经过我们统计分析，这8个项目不管是独立投资还是同时投资时，历年来年利润率的波动性都比较大。