（通用版）高考数学大二轮复习能力升级练（十四）函数及其应用理
能力升级练(十四) 函数及其应用
一、选择题
1.函数y=的定义域为()
A.,1
B.,+∞
C.(1,+∞)
D.,1∪(1,+∞)
解析要使函数有意义需满足解得<x<1.故选A.
答案A
2.设函数f(x)=x(e x+a e-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为()
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
解析设g(x)=x,h(x)=e x+a e-x,因为函数g(x)=x是奇函数,则由题意知,函数h(x)=e x+a e-x为奇函数,又函数f(x)的定义域为R,所以h(0)=0,解得a=-1.故选A.
答案A
3.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()
解析由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥,向容器中匀速注水,说明单位时间内注入水的体积相等,因圆锥下面窄上面宽,所以下面的高度增加得快,上面的高度增加得慢,即图象应越来越平缓.故选B.
答案B
4.(2019贵州贵阳模拟)20世纪30年代,为了防范地震带来的灾害,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感已经比较明显,则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的()
A.10倍
B.20倍
C.50倍
D.100倍
解析根据题意有lg A=lg A0+lg10M=lg(A0·10M).所以A=A0·10M,则=100.故选D.
答案D
5.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
解析设2x=3y=5z=k(k>1),
则x=log2k,y=log3k,z=log5k,
所以>1,即2x>3y.①
<1,
所以2x<5z.②
由①②,得3y<2x<5z.故选D.
答案D
6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有x2f(x1)>x1f(x2),记
a=f(2),b=f(1),c=-f(-3),则a,b,c之间的大小关系为()
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.a>c>b
解析因为对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有x2f(x1)>x1f(x2),所以,得函数g(x)=在(0,+∞)上是减函数,又c=-f(-3)=f(3),所以g(1)>g(2)>g(3),即b>a>c,故选B.
答案B
7.(2018全国Ⅲ,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()
解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C.故选D.
答案D
光速解题排除法:方法一:当x→+∞时,y→-∞,所以可以排除选项A和B,y=-x4+x2+2=-x2-2+, 所以x2=,即x=±时,函数y=-x4+x2+2有最大值,所以排除选项C.
方法二:当x=0时,y=2>0,所以可以排除选项A和B,当x=时,y=>2,所以排除选项C.
8.已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()
A.0
B.2
C.4
D.8
解析f(x)==2+,
设g(x)=,
因为g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,
所以g(x)max+g(x)min=0.
因为M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,
所以M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4.
答案C
9.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R,都有f(t)=f(1-t),且x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于()
A.-
B.-
C.-
D.-
解析由f(t)=f(1-t),得f(1+t)=f(-t)=-f(t),
所以f(2+t)=-f(1+t)=f(t),
所以f(x)的周期为2.
又f(1)=f(1-1)=f(0)=0,
所以f(3)+f=f(1)+f
=0-=-.故选C.
答案C
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=ln x-x+1,则函数g(x)=f(x)-e x(e为自然对数的底数)的零点个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
解析当x>0时,f(x)=ln x-x+1,f'(x)=-1=,所以x∈(0,1)时f'(x)>0,
此时f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减.因此,当x>0时,f(x)max=f(1)=ln1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=e x的大致图象如图所示,观察到函数y=f(x)与y=e x的图象有两个交点,所以函数g(x)=f(x)-e x(e为自然对数的底数)有2个零点.答案C
11.(2019广东惠州第一次调研)已知函数y=f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件:
①对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有>0恒成立;
②f(x+4)=-f(x);
③y=f(x+4)是偶函数.
若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是()
A.a<b<c
B.b<a<c
C.a<c<b
D.c<b<a
解析由①知函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数;由②知f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以c=f(2017)=f(252×8+1)=f(1),b=f(11)=f(3);由③可知函数f(x)的图象关于直线
x=4对称,所以b=f(3)=f(5),c=f(1)=f(7).因为函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数,所以
f(5)<f(6)<f(7),即b<a<c.故选B.
答案B
12.(2019辽宁沈阳教学质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=x-1,若关于x的方程f(x)-log a(x+2)=0(a>0且a≠1)在区间(-2,6)内有且只有4个不同的实根,则实数a的取值范围是()
A.,1
B.(1,4)
C.(1,8)
D.(8,+∞)
解析因为f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),所以f(4+x)=f(-x)=f(x),
所以f(x)的周期为4,
又当-2≤x≤0时,f(x)=x-1,
画出f(x)在(-2,6)上的大致图象,如图所示.
若f(x)-log a(x+2)=0(a>0且a≠1)在(-2,6)内有4个不同的实根,则y=f(x)的图象与y=log a(x+2)的图象在(-2,6)内有4个不同的交点.所以所以a>8,故选D.答案D
二、填空题
13.计算:2log410-log225+-(π-3)0=.
解析2log410-log225+-(π-3)0=2×log210-log25+(23-1=log2+22-1=1+4-1=4.
答案4
14.已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.
解析令g(x)=ln(-x),g(-x)=ln(+x),
∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,∴g(x)为奇函数.
∴f(x)=g(x)+1.
∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.
∴f(-a)=-2.
答案-2。