本科《工程数学》考试试卷（A 卷、闭卷）一、单项选择题 （每小题3分，共15分）1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件 A=A1∪A2∪A3表示( )。

A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。

A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。

B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正 确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)二、填空题 （每空3分，共15分）1． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。

2．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。

3．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正 常工作的概率为 。

4．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。

5．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为其它当0,00),()43(>>⎩⎨⎧=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。

三、计算题 （每小题10分，共50分）1．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2cos 0222．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。

由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。

求 （1）收报台收到信号“1”的概率；（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。

3．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是其它0,00),()42(>>⎩⎨⎧=+-y x ce y x f y x求：（1）常数c ；（2）概率P (X ≥Y )；（3）X 与Y 相互独立吗？请说出理由。

4．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。

5．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。

从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求(1)X的概率分布律和分布函数。

(2)EX四、证明题（10分）设a=(a1,a2,…,an)T，a1≠0,其长度为║a║，又A=aa T,(1)证明A2=║a║2A；(2)证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；(3)A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.五、应用题（10分）设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。

问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。

本科《工程数学》考试答案（A 卷、闭卷）一、单项选择题 （每小题3分，共15分）1．B 2．C 3．D 4．A 5．A二、填空题 （每空3分，共15分）1. 92. 1 3 1–(1–P)3 4. 3/4 5. 12三、计算题 （每小题10分，共50分） 1．解答：函数f(t)的付氏变换为：F (w )=dt e dt edt eeet j tj tj t t ⎰⎰⎰+∞--+∞+--+∞∞---+==ℜ0)(0)(||||][ϖβϖβϖββ=22211ϖββϖβϖβ+=-++j j由付氏积分公式有f(t)=[1-ℜF(w )]=ϖϖπϖd e F tj ⎰+∞∞-)(21=ϖϖϖϖββπd t j t ⎰+∞∞-++)sin (cos 22122 ==ϖϖβϖπβϖϖϖββπd td t ⎰⎰+∞+∞∞-+=+02222cos 2cos 221所以te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2cos 022 2．解答: 设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1”(1)由全概率公式 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 (2)由贝叶斯公式 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) =0.8x0.6/0.52=12/13 3．解答:（1）由联合概率密度的性质有⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dy y x f dx即 ⎰⎰+∞+-+∞=0)42(01dy ce dx y x 从而 c =8(2)⎰⎰≥==≥yx dxdy y x f Y X P ),()(⎰⎰=+-+∞xy x dy e dx 0)42(0328 (3) 当x >0时， ⎰⎰∞∞-∞-+-===2)42(28),()(x y x X e dy e dy y x f x f当x <=0时, 0)(=x f X同理有 其它004)(4>⎩⎨⎧=-y e y f y Y因 y x y f x f y x f Y X ,)()(),(∀=故X 与Y 相互独立4．解答：设 否则个盒子有球第i X i ⎩⎨⎧=01i =1,2,…,N则 ∑==Ni i X X 1因 nni NN X P )1()0(-== nni i N N X P X P )1(1)0(1)1(--==-==因而 nni i i NN X P X P EX )1(1)1(1)0(0--==⋅+=⋅= 所以 ))11(1(1nNi i NN EX EX --==∑=5．解答：（1）随机变量X 的取值为1，2，3。

依题意有：62)3(;63}2{;61}1{======X P X P X P X 的分布函数}{)(x X P x F ≤= 由条件知：当1<x 时，;0(=）x F当21<≤x 时，;61)1((===X P x F ）当32<≤x 时，;32)2()1((==+==X P X P x F ）当3≥x 时，;1(=）x F （2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6四、证明题 （10分）(1) A 2=aa T ·aa T =a T a ·aa T =║a ║2A (2)因 Aa= aa T ·a=a T a ·a= ║a ║2a 故a 是A 的一个特征向量。

又A 对称，故A 必相似于对角阵 设A ∽ diag(λ1,λ2,…,λn )=B, 其中λ1,λ2,…,λn 是A 的特征值 因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 从而λ1,λ2,…,λn 中必有n-1个为0, 即0是A 的n-1重特征值 (3) A 对称，故A 必相似于对角阵Λ，五、应用题 （10分）解答:设y 为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z 表示国家的收益（万元）,则有 y X y X X y X y X g Z <≥⎩⎨⎧--==)(33)(因 X 服从R(2000,4000), 故有其它4000200002000/1)(<<⎩⎨⎧=x x f X 所以dx ydx x y x dx x f x g EZ yyX ⎰⎰⎰+--==∞∞-40002000200032000)(3)()(。