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第三节 线性映射与线性算子
设X1,X 2是数域K上的线性空间，映射T
:
X1
X
2称为X1到X
的一个
2
线性映射,如果T（ x y）=T (x) T ( y),x, y X1,, K。
显然：T : 。
当T
是双射时，称T
是一个线性同构，称X1
,
X
是线性同构的。
2
例子：n阶方阵A是Rn Rn的线性映射，可逆矩阵都是线性同构。
||x||1
||x||1
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注 ： 1.一 般 说 来 ， 赋 范 线 性 空 间 B ( X ,Y )未 必 是 完 备 的 ；
2 . 赋 范 线 性 空 间 X 上 的 有 界 线 性 泛 函 的 全 体 B ( X , R )， 按 前 面 引 入 的 运 算 与 范 数 || f || su p || f ( x ) || 构 成 一 个 B an ach
||x||1
(2) || T || sup || Tx ||| | sup || Tx ||| | || T ||;
||x||1
||x||1
(3) || T1 T2 || sup || (T1 T2 )x || sup || T1x T2 x ||
||x||1
||x||1
sup || T1x|| sup || T2x |||| T1 || || T2 ||
3 .T B ( X , Y ), S B (Y , Z ), 则 复 合 算 子 S T B ( X , Z ), 且 ||| S T |||| S || || T || 。
|| x || 1
空 间 , 我 们 称 之 为 X 的 共 轭 空 间 ， 记 为 X *； (a)如 果 赋 范 线 性 空 间 X 等 距 同 构 于 X *,则 称 X 是 自 共 轭 的 ； ( b ) 如 果 赋 范 线 性 空 间 X 等 距 同 构 于 ( X *）* , 则 称 X 是 自 反 的 。
(2.)T : L1[a, b] L1[a, b]时 , || T || b a
•一 般 来 说 ， 求 一 个 具 体 算 子 的 范 数 并 不 容 易 ， 很 多 场合中只能对其范数做出估计
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• 注：设f是赋范线性空间X上的线性泛函，则 （1） f连续当且仅当f的零空间N(f)是X的闭
子空间； （2）非零线性泛函f不连续当且仅当N(f)在X
中稠密。 N(f)={x;f(x)=0}
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有界线性算子空间
算子T B( X ,Y )的范数 || T || sup || Tx || sup || Tx || sup || Tx ||
||x||1
||x||1
||x||0 || x ||
验证算子算子范数 || • || 满足以下条件：
(1) || T || sup || Tx || 0,|| T || 0 T 0(B( X ,Y )中零元)
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赋范线性空间
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内积空间
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三个空间的关系
• 赋范线性空间都是距离空间：(x，y)= || x y ||; 反之，要求距离满足条件 : (ax, ) | a | (x, ), 范数定义 || x || ( x, )。
• 内积空间都是赋范线性空间 :|| x || (x, x) 12；反之， 范数满足中线公式：|| x y ||2 || x y ||2 2 || x ||2 2 || y ||2 , 内积定义 (x，y)= 1 (|| x y ||2 || x y ||2 i || x yi ||2 i || x yi ||2 )
•定 理 1.设 X ,Y 是 赋 范 线 性 空 间 ,T : X Y 是 线 性 算 子 ， 则 （a）T 在X 上连续当且仅当T 在X中的某点x0处连续;特别的
等 价 于 若 xn ( X 中 零 元 )， 则 Txn (Y中 零 元 ).
(b)当X的维数有限时，T在X 上是连续的。
取函数列{sinnt}，显然||sinnt||1,但 || d (sinnt)||n||cosnt||n(n)
dt 因此，微分算子d :C1[0,1]C[0,1]是无界算子。
dt件是T是有界的。
•算 子 T的 范 数 || T ||:式 || T ( x) || M || x || ， x D (T )中 M 的 下 确 界 。
有限阶矩阵的研究，线性代数、高等代数和矩阵论中都有涉及； 我们泛函分析中主要研究是无穷维线性空间（Banach空间）上的 线性映射。
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• 因为任何n维赋范线性空间都与n维欧式空间线性同构，所 以有限维的赋范线性空间是线性同构的当且仅当它们的维 数相等。
• 绝大多数的泛函分析课程都是讲述特殊的线性空间和线性 算子的性质，而自然界中的现象更多是非线性的，非线性 问题是更广阔更具有挑战性的领域，有着多样性和复杂性。 人们在处理这类问题的方法： 一、推广线性情形时的有关理论的想法和方法； 二、化整为零，在局部范围内运用线性方法，将非线性问 题转化为线性问题
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•设X是赋范线性空间，a是一常数。映射T:T(x)ax称为 相似算子，a1时，称为恒定算子或单位算子，记为I。
•例1.定义:Tx(t)at x()d, f(x)abx()d,xC[a,b],
则T是C[a,b]上的一个线性算子，f是一个线性泛函。
• 例2. 区间[0,1]上的连续可微函数全体按极大模是赋范 线性空间，其上的微分算子是无界线性算子
可 以 证 明 :|| T || sup || Tx || sup || Tx || sup || Tx ||
||x||1
||x||1
||x||0 || x ||
例 ： L1[a , b ]上 算 子 T : (Tf )( x ) x f (t )dt, f L1[a , b ] a
(1.)T : L1[a, b] C [a, b]时 , || T || 1
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•当 X Y时 ， 称 T 是 线 性 变 换 ， 当 Y K时 ， 称 T 是 线 性 泛 函 。 •相关概念：核空间ker T、线性同构。
•称 T 在 x点 连 续 ， 是 指 对 任 意 点 列{xn}, 若 xn x, 则 Txn Tx； 若T在X的每一点都连续，则称T 在X 上连续。