希望教育 2019年中考数学一轮复习讲义学生：全慧 第一讲 相似三角形1、比例对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a cb d=(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若322=-y y x , 则_____=yx； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）A ．2，5，10，25B ．4，7，4，7C ．2，，，4D ．2，5，52，25 3．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ；4．：若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a 5、已知，求代数式的值．2、平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。

推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。

练习1，如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____ 2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。

3、如图，在ΔABC 中，EF 行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________．判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式：1. 若DE∥BC（A 型和X 型）则______________．2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____． （1） 练习1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________4.如图，具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA （ ）A BCAB CDAC = B CDBD ACAB = C CB CD AC •=2 D BD AD CD •=25.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个4 、相似三角形的性质与应用1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．练习1、如图，路灯距离地面8米，身高米的小明站在距离灯的底部（点O ） 20米的A 处，则小明的影子AM 长为 米．3、如图，在△ABC 中，M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，则△AMN 的面积与 四边形MBCN 的面积比为( )．A ．B ．C ．D ．(A) 12(B)13(C)14(D)234、如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为．5、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．6.如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．7.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：28、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE 是直角三角形时，t的值为（）A．2B．或C．或D．2或或5、相似多边形（1）对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．（2）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.（3）相似多边形对应边的比称为相似比．相似多边形面积的比等于相似比的平方．练习1.如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm22.（2011.潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将△AB E向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B． C．D．24、将一个长为a，宽为b的矩形，（1）分为相同的两个矩形，且与原矩形相似，求a:b(2)分为相同的三个矩形，且与原矩形相似，求a:b(3)割掉一个正方形，剩余的矩形与原矩形相似，求a:b5、如图，AB ∥EF ∥CD ，（1）AB ＝10，CD ＝15，AE ∶ED ＝2∶3，求EF 的长。

（2）AB ＝a ，CD ＝b ，AE ∶ED ＝k ，求EF 的长。

（3）若上下两个梯形相似AB ＝4，CD ＝8，求EF 的长6、位似位似图形：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线 ，对应边 或 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 ．①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是 图形，而相似图形不一定是 图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 ．（5）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．（6）关于原点位似的特征作位似图形的几种可能： 放大 缩小正像异侧倒像1、如图，路灯距地面8米，身高米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影长度（ ）A ．变短米B ．变长米C ．变长米D ．变短米2、小芳同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1m 长的标杆测得其影长为，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为和2m ，你能帮助小芳同学算出学校旗杆的高度？综合练习1.如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 21 。

若△DEF 的面积为2，则□ABCD 的面积是 。

2、如图，已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点P ，AB=4，CD=7，AD=10，则AP=（ ） A ． 4011 B ．407C ．7011D ．7043、已知平行四边形ABCD 中，AE∶EB=1∶2，求△AEF 与△CDF 的周长比，如果S △AEF =6cm 2,求S △CDF . 4、E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE∶EC=1∶3，BE 的延长线交CD 的延长线于G ，交AD 于F ，求证：BF∶FG=1∶2.5、已知如图，在平行四边形ABCD 中，DE=BF,求证：DQ CD =PQPD.6、如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD 的延长线于G ，求证：OG 2=GE·GF.7、ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．基本方法 1、（做平行线构造成比例线段）如图，已知⊿ABC 中，D 为 AC 上的一点，AD ∶DC= 3∶2， E 为 CB 延长线上的一点，ED 和 AB 相交于点 F ，EF=FD 。

求：EB ∶BC 的值。

2、已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AE AC的值；（2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．3、在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、AD 于F 、G ，求证CF∶FG∶GM=5∶3∶2ABF ED1.【等线段代换法】 在△ABC 中，AB=AC,直线DEF 与AB 交于D ，与BC 交于E ，与AC 的延长线交于F 。

求证：CFEFBD DE =。

2、已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E.求证：DE 2=BE·CE.【中间比例过渡法】已知△ABC 中，DE ∥BC,BE 与CD 交于点O ，AO 与DE 、BC 分别交于点N 、M ， 求证：OMONAM AN =。

中考题荟萃1、如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A.65 B. 95 C. 125 D. 1652、如图，ABC ∆中，AD 是中线，DAC B BC ∠=∠=,8,则线段AC 的长为( )A ．4B ．24C ．6D ．343、如图27－65所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F . (1)求证△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长4、如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB=OD ，OC=OA+AB ，AD=m ，BC=n ，∠ABD+∠ADB=∠ACB ．（1）填空：∠BAD 与∠ACB 的数量关系为 ；（2）求的值；（3）将△ACD 沿CD 翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD 相交于点P ．若CD=，求PC 的长．25、已知ΔABC ，AB=AC,D 在AB 上，E 在AC 上，且∠AED=∠B=600,若CE:DE:BC=1：2：3，设AD=m ，DB=n ， （1）填空：AB AE的值是 。