格尔系数大于 60％为贫穷；50％-60%为温饱；40％-50%为小康；30％-40%属于
相对富裕；20％-30%为富裕；20％以下为极其富裕）
运用统计方法，通过对数据的整体分析，制作如下百分比图：
第一类城市城镇居民消费结构
杂项商品和服务
6%
居住
娱乐教育文化服 6% 务
食品 40%
15%
交通和通讯
6%
第五类城市城镇居民消费结构
杂项商品和服务
娱乐教育文化服 居住 5%
务
9%
12%
食品 43%
交通和通讯
6%
医疗保健 5%
家庭设备用品及 衣着 服务 11%
9%
食品 衣着 家庭设备用品及服务 医疗保健 交通和通讯 娱乐教育文化服务 居住 杂项商品和服务
图 6：第五类城市城镇居民消费结构 第五类城市的衣食住消费占总消费额的 63%，其他服务性消费占 37% ；由于 该地区的恩格尔系数为 43%，所以该地区的消费水平为小康。 通过观察以上五类城市城镇居民结构消费百分比图，本文将五类城市的消费 情况分为两个大方面----物资文化消费和精神文化消费，并绘制表 3 来进行比 较：
对于上述问题分析，本文将建立以下模型来求解。 5.1 分析不同地区消费结构的数学模型
本文将每个省的城镇居民家庭平均年消费性支出作为一个样本，31 个不同 样本可视为多维空间中的 31 个点，用空间中点与点之间的距离来形容 31 个地区 之间各项指标的相似程度。将相近的样本归为一类，从而分析每类地区的消费结 构。
0.2371
0.0440
0.0965
0.0746
0.0588
0.1119
利用标准化公式对原数据 X =（X 1,X 2 ,L ,X 8）进行标准化处理得到一组新
的数据 X *
=
(X
* 1
,X
* 2
,L
,X
* 8
)：
X
* i
=
Xi
− µi
,i
= 1,2,L ,8.
σ ii
其中 µi 为 X i 的平均值，σ ii 为 X i 的方差。
这时 X *
=
(X
* 1
,X
* 2
,L
第二类城市城镇居民消费结构
杂项商品和服务
6%
居住
13%
食品
娱乐教育文化服
40%
务
12%
交通和通讯 11% 医疗保健 5%
衣着 家庭设备用品及5%
服务 8%
食品 衣着 家庭设备用品及服务 医疗保健 交通和通讯 娱乐教育文化服务 居住 杂项商品和服务
图 3：第二类城市城镇居民消费结构
4
第二类城市的衣食住消费占总消费额的 58%，其他服务性消费占 42%；由于 该地区的恩格尔系数为 40%，所以该地区城镇居民的消费水平为小康。
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
∑
=10^5
⎢ ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
3.4444 0.1749 0.7369 0.2371 0.6225 0.8549 0.6612 0.4533 ⎤
0.1749
0.1451
0.0559
0.0440
0.0133
0.0583 - 0.0407
0.0370
⎥ ⎥
0.7369 0.0559 0.3237 0.0965 0.1349 0.2920 0.1720 0.1057 ⎥
第四类城市城镇居民消费结构
娱乐教育文化服 务
居住 8%
杂项商品和服务 6%
8%
交通和通讯 7%
医疗保健 3% 家庭设备用品及 服务 5%
食品 51%
衣着 12%
食品 衣着 家庭设备用品及服务 医疗保健 交通和通讯 娱乐教育文化服务 居住 杂项商品和服务
图 5：第四类城市城镇居民消费结构 第四类城市的衣食住消费占总消费额的 71%，其他服务性消费占 29%；由于 该地区的恩格尔系数为 51%，所以该地区的色和那个活水平为温饱。
对于问题二，首先, 本文采用降维的思想，运用主成分分析法减少变量的个 数,借助 MATLAB 软件建立 8 种指标的相关系数矩阵，根据主成分个数提取原则, 提取特征值大于 1 的成分，从而确定两种主成分,它们在反应样本数据信息中所 占的贡献率分别为： 63.7213% ,16.9033% 。其次，本文运用回归分析法，建立主 成分变量与因变量 Z（各地区城镇居民平均每人全年总消费支出）之间的多元线 性回归模型，用最小二乘估计回归系数，从而得出消费性支出的八个主要变量与 各地区城镇居民平均每人全年总消费支出之间的依赖关系。最后，对得到的模型 进行残差分析，剔除异常数据，再次对模型进行回归分析，得到改进后的更合理 的模型。
ρij
=
E(X
* i
X
* j
)
=
Cov(X i ,X j )
σ iiσ jj
其中
E(X
* i
X
* j
)为
X
* i
X
* j
的平均值，
Cov(X
i
,X
j
)
为 X i ,X j 的协方差。
1n
∑ 利用协方差计算公式Cov(x ,y ) =
n
−
1
(x i
i =1
− x )(y i
− y )代入数据可求
得 X =（X 1,X 2 ,L ,X 8）的协方差矩阵 ∑ 为（见附录 2）：
5
表 3：五类城市消费情况表
占
城
总
市
额类
百别
分
比 消费方 向
第一类城市
第二类城市
第三类城市 第四类城市 第五类城市
物资文化
56%
58%
消费
60%
71%
63%
精神文化
44%
42%
消费
40%
29%
37%
通过百分比图与表 3 的互相参照对比可得以下结论： （1）第一、二、三类城市比较注重精神文化消费 ，其平均百分比占总消费 额的 42%； （2）第三、四类城市注重于物资文化消费，其平均百分比占总消费额 的 67% 。 由此可见，中国各地区的生活水平均有提升空间，但相对于第一、二、三类 城市而言第四、五类城市的生活水平有更大的提升空间。 5.2 对于问题二的模型建立与求解： 由于题目所数据量丰富且变量较多，为此，本文采用了主成分分析法以达到 减少变量个数的目的，从而简化了问题研究的复杂程度。然后，本文利用线性回 归分析的方法，建立了主成分变量与因变量 Z（各地区城镇居民全年平均总消费 支出）之间的线性关系，从而得出消费性支出的八个主要变量与各地区城镇居民 全年平均总消费支出之间的依赖关系。
衣着
医疗保健 7%
家庭设备用品及 服务
10%
10%
食品 衣着 家庭设备用品及服务 医疗保健 交通和通讯 娱乐教育文化服务 居住 杂项商品和服务
图 2：第一类城市城镇居民消费结构 由图 2 可得第一类城市的衣食住消费共占总消费额的 56%，其他服务性消费 占 44%；同时，该地区的恩格尔系数为 40%，根据联合国粮农组织的标准可以判 断该地区城镇居民的生活水平为小康。
表 2:城市分类详细表 类别 第一类城市 第二类城市 第三类城市 第四类城市
第五类城市部城市
根据以上分类，本文接下来探讨这五类城市的消费结构 。（注：恩格尔系数
是食品支出总额占个人消费支出总额的比重。它的评价标准为：联合国根据恩格
尔系数的大小，对世界各国的生活水平有一个划分标准，即一个国家平均家庭恩
对于问题二的数据分析，由于在所给的大量数据中变量较多且各变量之间存 在相关联系，因此，本文将采用降维的思想，运用主成分分析法，通过 MATLAB 软件建立协方差矩阵和相关系数矩阵，根据特征值选取原则确定主成分；其次， 文章将根据主成分与各变量之间的相关系数确定主成分关于各自变量的函数；最 后，由于各变量最终会影响各个城市的人均年消费总额，本文又将运用线性回归 法，拟合出主成分与消费总额之间的函数，从而确定各个变量与年度总消费额之 间的关系。由于数据中可能存在异常数据，这会对回归参数的确定有影响，所以 本文采用了残差分析法剔除异常数据，从而使模型得到了进一步的改进。
表 1 变量表
x1 ：食品 x2 ：衣着 x3 ：家庭设备用品及服务 x4 ：医疗保健 （数据表见附件 1）
1.分析不同地区的消费结构。 2.对上述指标进行数据分析 。
x5 ：交通和通讯 x6 ：娱乐教育文化服务 x7 ：居住 x8 ：杂项商品和服务
二 问题分析
对于问题一中消费结构的探讨，由于城市数量较多，为了便于分析，本文将 先运用聚类分析法，根据欧式空间最小距离原则，通过 MATLAB 软件将 31 个城市 进行分类。再运用统计方法制作百分比饼图，从而分析各地区的的消费结构。
借助欧式空间最小距离公式，将样本分类，并结合八项指标分析每类地区的 消费结构。
将 31 个地区样本按照已给信息顺序进行编号，样本 i 与样本 j 之间的距离
为：
8
∑ d (zi , z j ) =
(xik − x jk )2
k =1
由 d (zi , z j ) 生成距离方阵，记为 (zij )31×31 ，其中 min{d (zi , z j )} 表示样本 i 与样
第三类城市城镇居民消费结构
杂项商品和服务
6% 居住
娱乐教育文化服 9%
务
食品
13%
44%
交通和通讯
6%
医疗保健
衣着
4% 家庭设备用品及 7%
服务
11%
食品 衣着 家庭设备用品及服务 医疗保健 交通和通讯 娱乐教育文化服务 居住 杂项商品和服务