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二次函数知识点总结
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

二次项系数0a ≠ 2.二次函数的基本形式
①二次函数最基本的形式：2
y ax =的性质：
22③()2
y a x h =-的性质：是经2y ax =左右移动得到（即水平在x 轴方向移动）：左加右减 ④()2
y a x h k =-+的性质：
3.关于平移“左加右减，上加下减”
4.二次函数顶点式
()2
y a x h k
=-+与一般式
2
y ax bx c =++的区别与联系: 区别：()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式；
★联系：将一般式2
y ax bx c =++转化成顶点式 2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
；
其中顶点坐标可求2
424b ac b h k a a
-=-=
，． 5.二次函数2y ax bx c =++图象画法：先定对称轴；再定开口方向；最后上下移动；
★做题必须求出的4个点：
①顶点2424b ac b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， ②与
y 轴的交点()0c ，；（即当x=0时，求得y=c ）
③与x 轴的交点()10x ，，()2
0x ，（即当y=0时，求得a
ac
b b x 242-±
-=）
6.2
y ax bx c =++的性质:
① 当0a >时，开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值
244ac b a -．
②当0a <时，开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值244ac b a -．
2
7.二次函数解析式的表示方法:
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
★怎样设二次函数解析式：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．
1. 已知抛物线上普通的3点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，因为抛物线的对称性，故常选用顶点式．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可
以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
8、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a ：二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
★a 决定了开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b ：在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b
a -
<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
当0b <时，02b
a
->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．
⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反．
3. 常数项c ：抛物线与y 轴的交点
⑴ 当0c >时，与y 轴交于x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，与y 轴交于原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，与y 轴交于x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
★总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
9.二次函数与一元二次方程：
★一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数如下：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根：★a
ac
b b x 242-±-=．
★A 、B 两点间的距离21AB x x =-.
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
★抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； ▲▲▲解题思路总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，
b ，
c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
（6）关于x 轴对称： 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---； （7） 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；。