模块综合质量检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知，θ2为第二象限角．故选B.2．若sin (π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos (π＋α)的值为( )A ．53 B ．－53 C ．±53D ．－23解析：选B ∵sin (π－α)＝sin α＝log 22－23＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴cos (π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝ －1－49＝－53.故选B.3．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值是( )A ．34B ．537C ．2537D ．53737解析：选D ∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37， ∴|3e 1＋4e 2|＝37.又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，∴cos θ＝537＝53737.故选D.4．(2018·安徽太和中学期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．－2或1D ．－1或2解析：选D 由于A ，B ，C 三点共线，故AB→∥AC →，因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，所以λ(λ－1)－2×1＝0，解得λ＝－1或λ＝2.故选D.5．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( )A ．14AB →－34AC → B ．14AB →＋34AC →C ．34AB →－14AC →D ．34AB →＋14AC →解析：选B 解法一：设AD→＝xAB →＋yAC →，由BC →＝－4CD →可得，BA →＋AC →＝－4CA →－4AD →，即－AB →－3AC →＝－4x AB →－4y AC →，则⎩⎨⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD→＝14AB →＋34AC →，故选B.解法二：在△ABC 中，BC→＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14BC →＝AC →－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B.6．(2019·河北定州中学调研)函数f (x )＝12(1＋cos2x )·sin 2x (x ∈R )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 由题意，得f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，故选D.7．(2018·永州二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2π4－α＝( )A ．725 B ．925 C ．1625D ．2425解析：选B ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B. 8．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12. 所以，所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.故选B.9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝2πω＝π，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C ． 10.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC→的值为( )A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118解析：选B如图所示，AF→＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD→＝12AB →，DF →＝DE →＋EF→＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF→＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →. 又BC→＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB→·AC→－12AB→2＋34AC→2－34AC→·AB→＝34AC→2－12AB→2－14AC→·AB→.又|AB→|＝|AC→|＝1，∠BAC＝60°，故AF→·BC→＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.11．(2019·吉林百校联盟联考)已知cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝()A．4－2 3 B．23－4C．4－4 3 D．43－4解析：选B由题意可得－sin α＝－3sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，即sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12·cosπ12－cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12sinπ12＝3sinα＋π12cosπ12＋3cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12sinπ12，整理可得tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tanπ12＝－2tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－2×tanπ4－tanπ61＋tanπ4tanπ6＝23－4.故选B.12．(2019·浙江部分市学校联考)如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB＝2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则AC→·PB→的最大值是()A．2 B．1C．0 D．－1解析：选B连接BC，则∠ACB＝90°.∵AP⊥PC，∴AC→·PB→＝AC→·(PC→＋CB→)＝AC→·PC→＝(AP→＋PC→)·PC→＝PC→2.依题意可证Rt△APC ∽Rt △ACB ，∴|PC →||CB →|＝|AC →||AB →|，即|PC →|＝|AC →||CB →|2.∵|AC→|2＋|CB →|2＝|AB →|2，∴|AC →|2＋|CB→|2＝4≥2|AC →||CB →|，即|AC →||CB →|≤2，当且仅当|AC →|＝|CB →|时取等号，∴|PC →|≤1，∴AC →·PB →＝PC →2≤1，AC →·PB →的最大值为1，故选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． ★答案★：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 14．(2019·山东师大附中一模)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋2b |＝3，则a ，b 的夹角为________．解析：因为|a ＋2b |＝3，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(3)2.又a ，b 是两个单位向量，所以|a |＝1，|b |＝1，所以a ·b ＝－12.因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，则a ，b 的夹角为2π3.★答案★：2π315．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°＝________. 解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80° ＝2sin (80°－60°)12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.★答案★：416．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．解析：设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，则由题意得(2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝132，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52为圆心，262为半径的圆，所以|c |的最大值为26.★答案★：26三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4.∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0. ∵b ·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c . ∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a ·b ，即a ·b ＝2m ，①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝±6. ∴a ·b ＝±2 6.∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.18．(12分)(2019·山东日照五中期中)已知角α的终边过点P (－4,3)． (1)求tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)若β为第三象限角，且tan β＝43，求cos(α－β)的值． 解：(1)因为角α的终边过点P (－4,3)， 所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin αcos αsin α＋sin α＝12cos α＝－58. (2)因为β为第三象限角，且tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35. 由(1)知，sin α＝35，cos α＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝0.19．(12分)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的． 解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6.综上，所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象． 20．(12分)已知向量a ，b 不共线．(1)若OA→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，求当实数t 为何值时，A ，B ，C 三点共线；(2)若|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为120°，实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，求|a －x b |的取值范围．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，即13(a ＋b )＝λa ＋(1－λ)t b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，(1－λ)t ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，t ＝12.故t ＝12时，A ，B ，C 三点共线．(2)因为a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－12，则|a －x b |2＝a 2＋x 2b 2－2x a ·b ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以当x ＝－12时，|a －x b |取得最小值，最小值为32； 当x ＝12时，|a －x b |取得最大值，最大值为72， 所以|a －x b |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72.21．(12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.22．(12分)(2019·襄阳四校期中)设函数f (x )＝cos π2－x cos x －sin 2(π－x )－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)∵f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1＝3210－1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝35.ruize由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8知，2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π8＋π4－1 ＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4－1 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×22＋45×22－1＝－310.。