双曲线的第二定义: 双曲线的第二定义
平面内到一个定点F的距离与它到一条定直 平面内到一个定点F的距离与它到一条定直 定点 的距离的比是常数 e>1) 比是常数e 线L的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹叫 双曲线. 做双曲线. 定点F 焦点，定直线L 准线，常数e 定点F叫焦点，定直线L叫准线，常数e叫做 双曲线的离心率 离心率. 双曲线的离心率.
2
的轨迹. 求:点M的轨迹. 点 的轨迹
的距离， 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨 是点M到直线 的距离 c 根据题意， | M F | = } 迹就是集合 P = { M |
d
由此可得： 由此可得：
a
(x − c) 2 + y 2 c = 2 a a x− c
令c − a = b
2 2
d min
3 = 2
21 p( ,2) 3
x2 y 2 0)的 例1： 思考如图，已知F1，F2为双曲线 a2 − b2 = 1(a > 0,b > 0)的焦 1 点，过F2作垂直与x轴的直线交双曲线于点P，且sin∠PF1F2 = . 3 求此双曲线的离心率。
x
P
由题意x 解 :由题意x P = c
双曲线的第二定义
授课人：谢莉 授课人： 指导老师： 指导老师：任社群
（一）知识回顾： 知识回顾：
一、椭圆的第二定义： 定义： 1、定义：平面内到一个 定点F和一条定直线 定点 和一条定直线 l 的距 和一条 离的比为常数e(0<e<1)的点 的点 离的比为常数
l1
d1
F1 O
M
d2
F2 F2(c,0)
（一）M1位于双曲线右支
y
M 2 ( x2 , y2 )
M1 ( x1 , y1 )
（二）M2位于双曲线左支 F1
O
F2
x
|M2F1 |= −a − ex2
焦半径的应用
26
16
到左、右焦点的距离之比为 , 到左、右焦点的距离之比为1:2,求P 点到右准线的距离. 点到右准线的距离.
d2=6
x 2 上一点P 上一点 − y =1 例1 已知双曲线 3
2
x y 1的 F,点 例2 已知双曲线 - = 1的右焦点F,点 9 16 3 ,在 M,使 A ( 9,2 ) ,在此双曲线上求一点M,使 MA + MF 5 的值最小,并求这个最小值
2
2
d min
36 = 5
3 5 ,2) M（ 2
练习
y2 = 1 双曲线 已知点 已知点A ( 3,2 )， F ( 2,0 )， 在双曲线 x2 − 3 PA｜＋ PF｜ 上求一点 上求一点P， 使｜PA｜＋1 ｜PF｜的值最小. 2
1 6 的距离的比是常数 5 求:点M的 直线 :x= l 5 4 轨迹. 轨迹.
x y =1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8 故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
2
2
问题: 问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定 与定点 的距离和它到定
c a 直线 l : x = 的距离的比是常数 (c>a>0), a c
焦点在X轴上： 焦点在 轴上：｜MF1| = a + ex , |MF2| = a - ex 轴上 焦点在Y轴上： 焦点在 轴上：｜MF1| = a + ey , |MF2| = a - ey 轴上 左加右减， 左加右减，下加上减
问题
点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定 M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定 与定点F(5,0)
2
2
d2=6.4
d1=19.2
求焦半径公式
y
设M（x0 , y0 ),
N1
∴
M(x0,y0)
F1
a2 x=− c
O
F2
x
MF1 =e 2 a x0 + c
∴ MF1 = a + ex0
MF2 = a − ex0
a2 x= c
同理
左加右减，下加上减（带绝对值号） 左加右减，下加上减（带绝对值号）
焦半径公式： 焦半径公式：
∴焦半径 PF1 |= ec + a, PF2 |= ec − a | |
|PF2 | ec − a 1 ∴sin ∠PF1F2 = = = |PF1 | ec + a 3 yF10源自F2c 则e = = 2 a
小
结
（一）双曲线第二定义： 当点M到一定点的距离和它
y
x2 y2 − 2 =1 2 a b
P F d
1 1
=
P F d
2
2
=
c a
=
e
a2 x = ± c
0<e<1
或
a2 y = ± c
e>1
l2
x
M的轨迹，叫椭圆。 定点 叫焦点，定直线 l 的轨迹， 椭圆。 定点F叫焦点， 的轨迹 准线。 叫准线。 椭圆有两个焦点F 椭圆有两个焦点 1，F2，两条准线 l1 , l2
2、定义式： 定义式：
| MF 1 | | MF 2 | = e = e d1 d2
3、焦半径公式： 焦半径公式：
2
思考：双曲线与椭圆的第二定义的区别在哪里？ 思考：双曲线与椭圆的第二定义的区别在哪里？
第二定义应用
x y − = 1上的点P到双曲线的右焦点 上的点P 如果双曲线 64 36 的距离是8，那么P到右准线的距离是多少, P到左 的距离是8 那么P到右准线的距离是多少, P到左 多少
准线的距离是多少。 准线的距离是多少。 多少
到一定直线的距离之比是常 c 数e = > 1，这个点的轨迹是 a 双曲线。
F1
o
F2
x
a2 （二）准线方程：x = ± , (a < c) c
（三）焦半径公式的推导及 其应用
椭圆 第二定义 定义式 准线方程 离心率范围
双曲线
动点到一个定点的距离和它到 一条定直线的距离的比是常数e 一条定直线的距离的比是常数
实 例 演 示 : e=2
线 距 离 的 二 倍 。 动 点 到 定 点 距 离 是 它 到 定 直
L
F
线 距 离 的 二 倍 。 动 点 到 定 点 距 离 是 它 到 定 直
y
L
a2 准线x = c
c e= =2 a
焦点
o
F
x
x2 y2 双曲线标准方程是： 双曲线标准方程是： − =1 a2 b2
2
将上式两边平方，并化简， 将上式两边平方，并化简，得 2 2 2 2 2 2 2 2 (c − a ) x − a y = a (c − a )
2
2
x y − 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线. 故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线. 2a 的双曲线
双曲线有两个焦点，两条准线 分别为 分别为： ， 双曲线有两个焦点，两条准线.分别为：F1，l1 两个焦点 和F2 l2
a2 F1 ( − c . 0 ), l1 : x = − c a2 F 2 ( c , 0 ), l 2 : x = c
定义式
| MF1 | | MF2 | = e, =e d1 d2
如果焦点在Y轴上时，如何？ 如果焦点在 轴上时，如何？ 轴上时
思考
2a 两准线间的距离： ２.两准线间的距离： d = 两准线间的距离 c
a a 或y = ± 准线方程： １.准线方程：x = ± 准线方程 c c 2
2
2
b 焦准距:焦点到对应准线的距离 ３.焦准距 焦点到对应准线的距离 d = 焦准距 c