例谈构造平行六面体解立体几何题立体几何题的题设中若有“垂直”(包括线线垂直、线面垂直及面面垂直)可以试着构造长方体来求解，若没有“垂直”也可尝试构造平行六面体来求解.本文以普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称教科书)中的题目及几道高考题来谈谈这种解题方法.题1 (教科书第106页例2)如图1，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从,A B 到直线l (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.图1 图2 解 可在如图2所示的平行六面体中求解：因为,//CD AC AC A D '⊥，所以CD A D '⊥.又CD BD ⊥，所以CD ⊥面A DB '，得AA A B ''⊥，所以222A B d c '=-.在A BD '∆中，由余弦定理可求得2222cos 2a b c d A DB ab++-'∠=，此即所求二面角的余弦值.题 2 (教科书第107页练习第2题)如图3，60︒的二面角棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4,6,8AB AC BD ===，求CD 的长.图3 图4 解 可在如图4所示的平行六面体中求解：在ACE ∆中，6,6,60AC AE BD CAE ===∠=︒，由余弦定理可求得252CE =.可证BA ⊥面ACE ，所以有DE CE ⊥，在CDE ∆中可求得217CD =.题3 (教科书第113页第12题)一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30︒，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小.解 可在如图5所示的长方体中求解：30ADB DAE ∠=∠=︒，可不妨设2AD =，得1,3,2DE CB AB AE BD BE CD =======，所以在Rt ACD ∆中可求得45ADC ∠=︒，即夹在直二面角A BE D --的线段AD 与棱BE 所成角的大小是45︒.图5题 4 已知两平行平面,αβ的距离为23，点,A B α∈，点,C D β∈，且3,2AB CD ==，异面直线,AB CD 成60︒角，求四面体ABCD 的体积.解 可在如图6所示的平行六面体中求解：图6 在图6所示的平行六面体中，60A CD '∠=︒或120︒，133,23sin 322A CD A C AB S A CD '∆''===⋅⋅∠=，所以13323332A BCD A BCD V V '--===. 题 5 (2012·安徽·文·15) 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即,,AB CD AC BD AD BC ===，则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)。

①四面体ABCD 每组对棱相互垂直②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱可作为一个三角形的三边长解 ②④⑤.如图7，可把四面体ABCD 放置在如图所示的平行六面体中，由该四面体的三组对棱分别相等，可得该平行六面体是长方体(在图7，由AD BC =可得图7中的平行六面体左面的平行四边形的对角线相等，所以它是矩形.同理得该平行六面体的表面均是矩形，所以该平行六面体是长方体).①错误：因为长方体不一定是正方体.②正确：可证ABC CDA BAD DCB ∆≅∆≅∆≅∆.③错误：可得从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和为180°，比如180BAC CAD BAD ABD BDA BAD ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒.④错误：如图8，易证顺次连接四面体ABCD 的棱,,,AB BC CD DA 的中点,,,E F G H 得到的四边形是菱形.⑤正确：比如，从四面体ABCD 的顶点A 出发的三条棱可组成BCD ∆.图7 图8 题6 (2012·大纲全国·理·16)三棱柱111ABC A BC -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .解法1 66.如图9，作1AO '⊥面ABC 于O '，由1160BAA CAA ∠=∠=︒可得AO '是BAC ∠的平分线.设直线AO BC O '⋂=，则点O 是BC 的中点.图9由11cos cos cos A AO O AB A AB ''∠⋅∠=∠，得11cos cos30cos 60,cos 3A AO A AO ''∠⋅︒=︒∠= 可不妨设123AB AA ==12,22,3AO AO AD ''===.可如图1建立空间直角坐标系O xyz -，得1(0,3,0),(3,0,0),(3,0,0),(0,0,0),(0,1,0),(0,1,22)A B C O O A'-，再由111(0,2,22)AA BB CC ===-，得11(3,2,22),(3,2,22)B C ---，所以11(3,5,22),(23,2,22)AB BC =--=- 设异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为α，则11116cos 626AB BC AB BC α⋅===⋅⋅ 解法2 6.如图10，可把三棱柱111ABC A BC -补成平行六面体1111ABCD A BC D -.图10作1AO '⊥面ABC 于O '，由1160BAA CAA ∠=∠=︒可得AO '是BAC ∠的平分线.设直线AO BC O '⋂=，则点O 是BC 的中点.由BC AO ⊥得1BC AA ⊥，所以1BC CC ⊥.可不妨设11BC CC ==，得112AD BC ==菱形11A ABB 的边长为1，160BAA ∠=︒，所以13AB=；菱形ABCD 的边长为1，2120BAD BAC ∠=∠=︒，所以113B D BD ==在等腰11AB D ∆中，11113,2B A B D AD =，易求得116cos 6B AD ∠=，所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为66. 题7 如图11所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．解 78.所有的四面体(即三棱锥)都可以放置在平行六面体中，且四面体的四个顶点是平行六面体的八个顶点中的四个.进一步，还可得：对棱长相等的四面体都可以放置在长方体中，且四面体的四个顶点是长方体的八个顶点中的四个.所以本题也可利用长方体建立坐标系简洁求解.可把三棱锥A -BCD 放置在如图12所示的长方体中.图12如图12所示，设长方体的长、宽、高分别是z y x ,,，由勾股定理得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222323x z z y y x解得2,7===z y x .可如图12所示建立空间直角坐标系xyz C -来求解. 得)2,7,0(),0,7,2(),2,0,2(),0,0,0(A D B C ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0,22,22,7,22N M ，再得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22,7,22,22,7,22.得87887,cos -=⋅-=⋅>=<CM AN CM AN ，所以异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是87. 题8 (2010年同济大学自主招生数学试题)如图13所示，在四面体ABCD 中，b CD a AB ==,，异面直线CD AB ,的距离为d ，夹角为θ.图13(1)若⊥=AB ,2πθ面BCD ，求四面体ABCD 的体积；(2)若2πθ=，求证：四面体ABCD 的体积为定值；(3)求四面体ABCD 的体积.解 我们先解第(3)问：(3)如图14所示，将四面体ABCD 补成一个平行六面体D C C A D B AB ''-''，得θ='∠A DC ，上下两底面C A B A ''',的距离为d ，所以θθsin 2sin 21abd d ab V D C C A D B AB =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=''-''平行六面体 θsin 6161abd V V D C C A D B AB BCD A ==''-''-平行六面体图14由第(3)问的结论，立得头两问的解法： (1)abd V BCD A 61=-；(2)abd V BCD A 61=-(定值).题9 求证：若四面体ABCD 的六条棱长满足d CD c AB b AC BD a BC AD ======,,,，则(1)可把该四面体放置在如图15所示的直平行六面体D B C A D B C A ''-''中：图15(2)对棱AD 和BC ，BD 和AC ，AB 和CD 之间的距离分别为z l y S l x S l ===321,,，其中 2222222222222221,2221,2221d c b a z d c a b y d c b a x --+=++-=++-= ))((212222a b cd a b cd S +--+= 证明 (1)略.(2)在图15的直平行六面体D B C A D B C A ''-''中，设z A A y C A x D A ='='=',,. 由勾股定理，可得222222,b z y a z x =+=+.如图16所示，在平行四边形D B C A ''中，可得222222y x d c +=+.可解得结论(2)中关于z y x ,,的结论成立.图16又平行四边形D B C A ''的面积是D AO cd S '∠=sin 21，在D AO '∆中由余弦定理可求得cd b a D AO 22cos -='∠，所以可得结论(2)中关于S 的结论也成立.因为对棱AD 和BC 的距离就是如图16所示的直平行六面体D B C A D B C A ''-''中左、右两个侧面的距离，也即平行四边形D B C A ''的对边B C D A '',的距离，所以对棱AD 和BC 的距离是xS l =1. 同理可得BD 和AC ，AB 和CD 之间的距离分别为z l y S l ==32,.证毕.题10 求证：若四面体ABCD 有两组对棱互相垂直(则可证得其三组对棱均互相垂直)，且d AD c AB b AC a BC ====,,,，则(1)可把该四面体放置在如图17所示的所有棱长均相等的平行六面体D B C A D B C A ''-''中：图17 (2)222222,d c a CD d b a BD +-=+-=；(3)对棱AD 和BC ，BD 和AC ，AB 和CD 之间的距离分别为2223222212,2,2dc a c Sh ld b a b Sh l ad Sh l +-=+-==，其中 aSc b a c b a S l c b a s c s b s a s s S ld h a a 8))((16,2,))()((,222222222+--+-=++=---=-= 证明 (1)略.(2)由平行四边形两条对角线的平方和等于各边的平方和，可得222222BD b d a CD c +=+=+进而可得欲证结论成立.(3)设ABC ∆的垂心为点H .如图18所示，分别以边BC 和BC 上的高所在的直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系xOy .图18可设)0,(),0,(),,0(000z C y B x A ，得220202202000,,c y x b z x a y z =+=+=-，解得a a c b z a a c b y a S x 2,2,2222022200+-=--==，其中2,))()((c b a s c s b s a s s S ++=---=. 得直线⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--=a a c b x a c b S y AC 24:222222. 又直线AC BH ⊥，所以直线⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=a a c b x S a c b y BH 24:222222. 可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+aS c b a c b a H 8))((,0222222. 进而可得垂心H 到顶点A 的距离为aSc b a c b a S l a 8))((162222222+--+-=. 如图19所示，设侧棱C C '与底面D B C A ''所成角的大小为θ.图19得平行六面体的体积θsin sin ⋅'∠⋅'⋅'⋅'=B C A C C B C A C V ,又θsin sin 61⋅'∠⋅'⋅'⋅'='-B C A C C B C A C V C AB C 三棱锥，进而可得V V ABCD 31=四面体，即Sh l ad =12，得adSh l 21=. 进而可得欲证结论成立.本文介绍的技巧“构造平行六面体解立几题”实际上就是一种补形法，在立体几何中还有很多用补形法简洁解题的例子，比如把正四面体放置在正方体中的补形法解题技巧.。