哥德巴赫猜想二百多年前，有一位德国数学家名叫哥德巴赫。
他发现，每一个不小于6的偶数，都可以写成两个素数（也叫质数）的和，简称“1+1”。
例如： 6=3+3 100=3+97 1000=3+9978=3+5 102=5+97 1002=5+997……12=5+7 104=7+97 1004=7+997哥德巴赫对许多偶数进行了检验，都说明这个推断是正确的。
以后有人对偶数进行了大量的验算，从6开始一个一个地一直验算到三亿三千万个数，都表明哥德巴赫的发现是正确的。
但是，自然数是无限的，是不是这个论断对所有的自然数都正确呢？还必须从理论上加以证明，哥德巴赫自己无法证明。
1742年，他写信给当时有名的数学家欧拉，请他帮忙作出证明。
后来欧拉回信说：“他认为哥德巴赫提出的问题是对的，不过他没有办法证明。
因为没能证明，不能成为一条规律，所以只能说是一个猜想，人们就把哥德巴赫提出的那个问题称为“哥德巴赫猜想”。
从此，哥德巴赫猜想成了一道世界有名的难题。
有人称它为“皇冠上的明珠”，它好比是数学上的一座高峰。
谁能攀登上这座高峰呢？二百多年来，许许多多数学家都企图给这个猜想作出证明。
我国数学家陈景润在对“哥德巴赫猜想”的研究上取得突破性进展，居于世界领先地位。
他的著名论文《大素数表为一个素数及不超过两个素数乘积之和》中的成果被国际数学界称为“陈氏定理”。
费马大定理300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。
费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。
300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。
这就是纯数学中最著名的定理—费马大定理。
费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。
虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。
他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。
费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。
这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。
费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。
1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。
1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=z只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。
1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。
虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。
毫无疑问，这使人们看到了希望。
四色问题在给地图着色的时候，我们总是给相邻的不同区域涂上不同颜色，使用权这些区域之间有所区别。
那么画一张地图，要用多少种颜色呢？1852年10月，刚从伦敦大学毕业的青年数学家弗兰西斯·古色利在为一张英国地图着色的时候，发现最多只要4种颜色，就能把相邻的国家区别出来了。
古色利写信把自己的发现告诉在大学学习物理的弟弟弗雷德里克，弗雷德里克又向他的数学老师摩根提出，摩根又去请教哈密尔顿，并由此引发了一场长达120多年的证明大战。
这就是著名的四色问题。
1879年，肯泊在一篇论文中发表了一个证明，1890年，希伍德指出了肯泊证明中的错误，同时也指出，肯泊的方法可以用来成功证明五色问题。
1976年，美国伊利大学的两位数学家阿倍尔和哈肯分别在三台计算机上花费了1200个小时计算，终于完成了四色定理的证明。
尽管如此，许多数学家还在寻求书面的证明。
八皇后问题八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。
该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：题目：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法？高斯认为有76种方案。
1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。
现代教学中，把八皇后问题当成一个经典递归算法例题。
算法分析：数组a、b、c分别用来标记冲突，a数组代表列冲突，从a[0]～a[7]代表第0列到第7列，如果某列上已经有皇后，则为1，否则为0；数组b代表主对角线冲突，为b[i-j+7]，即从b[0]～b[14]，如果某条主对角线上已经有皇后，则为1，否则为0；数组c代表从对角线冲突，为c[i+j]，即从c[0]～c[14]，如果某条从对角线上已经有皇后，则为1，否则为0；另优化：第一个皇后在1～4格，最后乘以2，即为总解数百鸡问题本问题记载于中国古代约5－6世纪成书的《张邱建算经》中，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题：「今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。
凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。
又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。
又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十四，值钱二十八。
」该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创「一问多答」的先例，这是过去中国古算书中所没有的。
原书没有给出解法，只说如果少买７只母鸡，就可多买４只公鸡和３只小鸡。
所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。
中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约６世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。
到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。
1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。
在此前后时曰醇推广了百鸡问题，作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。
百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。
宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。
例如印度算书和阿拉伯学者艾布卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
蜂窝猜想加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称,经过1600年努力,数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者。
四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。
他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。
他的这一猜想称为"蜂窝猜想",但这一猜想一直没有人能证明。
美密执安大学数学家黑尔宣称,他已破解这一猜想。
蜂窝是一座十分精密的建筑工程。
蜜蜂建巢时,青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡,每片只有针头大校而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置,以形成竖直六面柱体。
每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小。
6面隔墙宽度完全相同,墙之间的角度正好120度,形成一个完美的几何图形。
人们一直疑问,蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢?隔墙为什么呈平面,而不是呈曲面呢?虽然蜂窝是一个三维体建筑,但每一个蜂巢都是六面柱体,而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关。
由此引出一个数学问题,即寻找面积最大、周长最小的平面图形。
1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。
1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。
但如果多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一点。
而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将19页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确的。
Hanoi塔问题Hanoi塔问题，这是一个古典的数学问题，是一个只有用递归方法解决的问题。
问题是这样的：古代有一个梵塔，塔内有3个座A，B，C，开始时A座上有64个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上。
有一个老和尚想把这64个盘子从A座移到C座，但每次只允许移动一个盘，且在移动过程中在3个座上都始终保持大盘在上，小盘在下。
在移动过程中可以利用B座。
将n个盘子从A座移到C座可以分解为以下3个步骤：(1).将A上n-1个盘借助C座先移到B座上；(2).把A座上剩下的一个盘移到C座上；(3).将B上n-1个盘借助A座先移到C座上。
墓碑上的年龄丢番图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学问题。
丢番图的一生，幼年占六分之一,青少年占十二分之一,又过了七分之一才结婚，五年之后生子，子先其父四年而死，寿命是他父亲的一半，问丢番图活了多少岁？(本题答案是84岁）七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题…………欧拉在1727年20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
差不多在这个时候，他的德国朋友告诉他一个曾经令许多人困惑的问题。
这城现被苏联占领，就像老沙皇把从中国占领的土地改名一样，这城现被改称为卡里林格勒。
有一条河横贯市内，河中心有二个小岛。
在当时有七座桥把这小岛和对岸联结起来。
在周末当地的市民喜欢在城里溜达，有人曾想法子从家里出发，走过所有的桥回到家里，他们想是否能有座桥只走过一次。
许多人试过都不成功。
现在是否有一个方法能走过？欧拉的朋友知道这个青年人很聪明，并且喜欢思考问题，就告诉他这个“哥尼斯堡七桥问题”，要他想法子解决。
读者最好先在图四上“纸上漫步”，看看能不能走出一个法子来。
如果行不通，那么就继续下去。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个问题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，二个顶点有边联结，当且仅当（if and only if）这点代表的地区有桥联结起来。
这样欧拉就得到了一个图了。
欧拉如何解决“七桥问题”：欧拉现在考虑这个图是否能一笔画成，如果能够的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
他先研究一般能一笔画成的图应该具有什么性质？他发现它们大体上有二类，不是全都是偶点就是有二个奇点。