第九章平面图与图的着色
⏹9.1 平面图与欧拉公式
⏹9.1 平面图与欧拉公式（补充）⏹9.2 顶点着色
⏹9.3 平面图的着色
⏹9.4 边的着色
⏹9.5 图着色的应用
平面图
⏹在现实生活中，常常要画一些图形，希望边与边之间尽量减少相交的情况，例如印刷线路板上的布线，交通道的设计等。
⏹同构
9.1 平面图与欧拉公式
⏹一、平面图
⏹定义9.1（平面图）
若一个图能画在平面上使它的边互不相交（除在顶点处），则称该图为平面图，或称该图能嵌入平面的。
⏹图9.1(a),(b)
⏹图9.1(a)平面图G, (b) 所示的Ğ是G的平面嵌入。
图9.2：并不是所有的图都是平面图。
（K5和K3,3）
9.1 平面图与欧拉公式
⏹二、欧拉公式
⏹1 定义9.2（面/外部面/内部面）
平面图G嵌入平面后将Ğ分成若干个连通闭区域，每一个连通闭区域称为G 的一个面。
恰有一个无界的面，称为外部面。
其余的面称为内部面。
9.1 平面图与欧拉公式
⏹2 欧拉公式
⏹（1）定理9.1
若连通平面图G有n个顶点，e条边和f 个面，则
n-e+f=2
称为欧拉公式。
⏹证明方法：归纳法
⏹证明：
⏹（1）归纳基础：一条边，欧拉公式成立；
⏹（2）归纳步骤：假设m-1条边，欧拉公式成立；
考察m条边的连通平面图：
1）若有度数为1的顶点，则删去该顶点及其关联边，便得到连通平面图G’，G’满足欧拉公式，再将删去的点和边加回G’得到G也满足欧拉公式；
2）若没有度数为1的顶点，则删去有界面边界上的任一边，便得到连通平面图G’，G’满足欧拉公式，再将删去的边加回G’得到G也满足欧拉公式。
9.1 平面图与欧拉公式
(2)推论9.1
若G是n≥3的平面简单图，则e≤3n-6。
证明：只证明连通的平面简单图的情况，G是n≥3的平面简单图，每个面由3条或更多条边围成，因此边的总数大于等于3f，因为每条边至多被计算两次，所以G中至少有3f/2条边，即e≥3f/2。
根据欧拉公式，有n-e+2e/3≥2。
所以3n-6≥e。
(4)推论9.3
K5和K3,3是非平面图。
证明：反证法：若K
5是平面图，由推论9.1，
当n=5, e=10时，3n-6≥e不可能。
所以K5是非平面图。
若K
3,3是平面图，由推论9.2，当n=6, e=9
时，2n-4≥e不可能。
所以K3,3是非平面图。
9.1 平面图与欧拉公式
⏹(5)定理9.2
，在平面简单图G中至少存在一个顶点v
d(v0) 5
⏹证明方法：反证法，假设所有顶点度数大于5，由推论9.1，导致矛盾。
9.1 平面图与欧拉公式
⏹三平面图的特征
⏹1 剖分
⏹在G的边上插入有限个点便得到G的一个剖分。
⏹例：
2 定理9.3（库拉托斯基定理）
图G是平面图 它的任何子图都不
是K
5和K
3,3
的剖分。
9.1 平面图与欧拉公式
⏹四对偶图
⏹1 定义9.3（几何对偶）
设Ğ是平面图G的平面嵌入，则G的几何对偶G*构造如下：
(1) 在Ğ的每一个面f内恰放唯一的一个顶点f*；
(2) 对Ğ的两个面f i, f j的公共边x k，作边
x k*={f i*, f j*}与相交；得到图记为G*，即G的几何对偶（简称G的对偶）。
图9.4
而它的对偶图的边和结点分别用蓝线和“●”表示。
⏹若G是连通平面图，则G*也是连通平面图。
⏹/*由定义*/
9.1 平面图与欧拉公式
2 定理9.4（G和G*的顶点数，面数和边数的关系）
设G是有n个顶点，e条边，f个面的连通平面图；又设G的几何对偶G*有n*个顶点，e*条边，f*个面，则n*=f, e*=e,
f*=n。
证明方法：前两个关系式直接由G*的定义给出，第3个关系式由欧拉公式推出。
3 定理9.5
G是连通平面图 G**同构于G。
6.1 平面图与欧拉公式（补充）
⏹一、球面与平面
⏹1. 嵌入曲面
⏹设S是一个给定的曲面，比如平面，球面等，如果图G能画在曲面S上使得它的边仅在端点处相交，则称G可嵌入曲面(embeddable in the surface) S。
⏹2. 定理6A.
⏹图G可嵌入球面S G可嵌入平面P。
⏹/*证明基于球极平面射影。
*/
⏹/*图嵌入平面与球面是一回事。
*/
⏹
证明：/*正向推导*/⏹∀e ∈G , e 为面R i 和R j (i ≠j)的公共边界上的边时，在计算R i 和R j 的度数时各提供次数1，而当e 只在某一个面R 的边界上出现时，它必出现两次，所以在计算R 的度数时e 提出的次数为2，于是每条边在∑deg(R i )中，各提供度数2，所以命题成立。
⏹
⏹3）定理6D
⏹在n(n≥4)个顶点的极大平面图G中，δ(G)≥3。
⏹/*δ(G)为G的最小度*/
定理6E.
G为n（n 3）个顶点、e条边的简单平面图，则G为极大平面图当且仅当
e=3n-6。
⏹证明：
⏹⇒：因为G是连通的，由欧拉公式得
f=2+e-n。
又因为G是极大平面图，所以2e=3f。
所以e=3n-6。
⏹⇐：如果e=3n-6，但G不是极大平面图，则在G中可以继续加边，产生的还是平面简单图G’，e’>3n-6。
因为由推论6.1，对n≥3的平面简单图G’，则e’≤3n-6，导致矛盾。
⏹三、欧拉公式
⏹应用欧拉公式及其推广形式得到平面图的另外一些性质。
定理6G
G为n（n 3）个顶点、e条边的简单平面图，则e=3n-6。
证明：设
⏹2. 定义6D（同胚）
⏹若两个图G1与G2是同构的，或通过反复插入或消去2度顶点后是同构的，则称G
1是同胚的。
与G
2
⏹
3. 库拉托斯基定理的两种形式⏹
1) 图G 是平面图当且仅当G 不含与K 5同胚子图，也不含与K 3,3同胚子图。
⏹2) 图G 是平面图当且仅当G 中没有可以收缩到K 5的子图，也没有可以收缩到K 3,3的子图。
⏹五、平面图的应用——正多面体
⏹1. 每个凸多面体对应一个平面图：
⏹设P是凸多面体。
以P的顶点为顶点，P的棱为边而得到的平面图G(P)称为对应于P的平面图。
则G(P)是连通的且
δ(G(P))≥3，P的面就是G(P)的面，而且
G(P)的每条边正好在两个面的边界上。
⏹2. 欧拉凸多面体公式
⏹以V, E, F分别表示凸多面体P的顶点数、棱数和面数，则V-E+F=2。
3. 设V n和F n分别表示凸多面体P的n度点和n度面的数目，当n≥3时，2E=∑nF n= ∑nV n。
⏹证明：设F3=F4=F5=0。
⏹因为所有面的度数之和为2E，2E=∑nF n≥∑6F n=6∑F n=6F，其中n≥6，则2E≥6F，F≤E/3。
⏹因2E=∑nV n≥3∑V n=3V，其中n≥3，则
V≤2E/3。
⏹由凸多面体公式V-E+F=2，得E=V+F-2≤2E/3+ E/3-2=E-2，导致矛盾。
⏹5. 正多面体(regular polyhedron, Plato体)
⏹[1] 定义(正多面体).
⏹每个面并且每个多面角都相等的凸多面体称为正多面体.对应的平面图称为Plato图.
⏹[2] Euclid(约公元前330年-前275年)《几何原本》：
⏹仅有5个正多面体：四面体、立方体、十二面体、八面体、二十面体。
⏹[3]. 定理6I.
⏹仅有5个正多面体。
⏹
证明：设P 是正多面体G(P)对应的平面图。
由V-E+F=2，得-8=4E-4V-4F=2E+2E-4V-4F=∑nF n +∑nV n -4∑V n -4∑F n = ∑(n-4)F n + ∑(n-4)V n ，n ≥3。
⏹因为P 是正多面体，所以存在两个整数h 和k 使F=F h 且V=V k ，因此有-8=(h-4)F h +(k-4)V k ，并且由2E=∑nF n = ∑nV n ，有hF h =2E=kV k 。
由定理6H ，3≤h ≤5，分3种情况。
⏹
情形1.当h=3时，因为-8=(h-4)F h +(k-4)V k ，
且hF h =2E=kV k ，所以12=(6-k)V k 。
因此有3≤h ≤5。
由-8=(h-4)F h +(k-4)V k 和12=(6-k)V k ，得：⏹
当k=3时，V 3=4，F 3=4，因此P 是四面体；⏹
当k=4时，V 4=6，F 3=8，因此P 是八面体；⏹当k=5时，V 5=12，F 3=20，因此P 是十二面体；
⏹情形2.当h=4时，因为-8=(h-4)F h+(k-
4)V k，所以8=(4-k)V k，则k=3，V3=8，
F4=6，因此P是立方体。
⏹情形3.当h=5时，因为-8=(h-4)F h+(k-
4)V k，且hF h=2E=kV k，所以20=(10-3k)V k。
=20，F5=12，因此P是立方体。
则k=3，V
3。