简单的三角恒等变换(一)
张掖中学 宋娟
一、教学目标
知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；
过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；
情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点
教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；
教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容
复习引入(学生组织完成)
问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解
思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示22
2
sin cos tan 2
2
2
α
α
α
、、？
分析：观察α与
2
α
的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的变形公式.
解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α
代
替α，即得2
cos 12sin 2
α
α=-，
所以2
1cos sin 22
α
α
-=
； ①
在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2
α
代替α，即得
2
cos 2cos 12
α
α=-，
所以2
1cos cos 22
α
α
+=
. ②
将①②两个等式的左右两边分别相除，即得
21cos tan 21cos ααα
-=+.
思考2：若已知cos α，如何计算sin
cos tan 222
α
αα
、、？
sin
cos tan 2
22α
αα=== (半角公式) 强调：“±”号由
2α
所在象限决定. 例1：已知5sin 13α=，且2παπ<<，求tan 2
α
的值.
解
512
sin cos 13213
,tan
2
4
2
2
2
tan tan 522πααπαπ
π
α
π
α
απαα=<<∴=-<<∴
<
<
∴>===
==因为且又
由公式
例2 求证sin 1cos tan 2
1cos sin α
αα
αα
-=
=
+ 证明
2
2sin sin
2cos
sin sin 222tan
2
1cos cos cos 2cos 2cos 2
222
sin sin 2sin 2sin
1cos 22
22tan
2
sin sin cos
cos
2sin
222
αα
α
α
αα
ααααααααα
α
α
α
α
α
αα
⋅====+⋅⋅-===
=⋅
利用例2的结论，再做一下例1，比较两种方法.
例3 已知3sin 25θ=，022
π
θ<<
，求
2
2cos sin 1
2
)
4
θ
θπ
θ--+.
分析：由降幂公式知2
2cos 1cos 2
α
α=+，故有
cos sin cos sin θθ
θθ-=+原式 ﹡ 此处有两种处理方法：
方法一、由已知求出cos sin θθ、的值，带入﹡式计算，即可得到结果; 方法二、由﹡继续变形，将半角化为倍角进行计算. 解法一
22
cos sin
......
cos sin
020cos0,sin0
24
34
sin2,02cos2
525
cos212sin2cos1
sin
1
2
1010
θθ
θθ
ππ
θθθθ
π
θθθ
θθθ
θθ
-
=*
+
<<∴<<∴>>
=<<=
=-=-
∴==
*
*==
原式
由
由得
又
带入式得
解法二
2
22
cos sin
cos sin
(cos sin )
(cos sin)(cos sin)
12sin cos1sin2
......
cos sin cos2
34
sin2,02cos2
525
32
11
55
442
55
θθ
θθ
θθ
θθθθ
θθθ
θθθ
π
θθθ
-
=
+
-
=
+-
--
==*
-
=<<=
*
-
*==
原式
由得
带入式得
=
小结：对于例3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.
万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”.
下面我们来分小组讨论一下这一个问题：
(练一练)化简2222
1
sin sin cos cos cos2cos2
2
αβαβαβ
⋅+⋅-⋅.
分析：
1.从“角”入手,倍角化半角;
2.从“幂”入手,利用降幂公式将次;
3.从“形”入手,利用配方法.
本题目至少有6种解法，请同学们讨论完成.
课堂小结
三个数学方法
1.从“角”入手,倍角化半角(半角化倍角);
2.从“幂”入手,利用降幂公式将次(利用升幂公式升次);
3.从“形”入手,利用配方法(分母有理化、分子有理化).
两个人生哲理
1.条条大路通罗马;
2.咬定青山不放松，任尔东南西北风.
布置作业
习题3.2A组1(1)、(2)、(4)、(5)
课后反思。