±9324695142
±0.6612093865 ±0.2386191861
0.1713244924
0.3607615730 0.4679139346
±0.9491079123
±0.7415311856 ±0.4058451514
0.1294849662
0.2797053915 0.3818300505
4 ±0.9061798459 0.2369268851
±0.5384693101 0.4786286705 7 0 0.568888889
0
±0.9602898566 ±0.7966664774
0.4179591837
0.1012285363 0.2223810345
±0.5255324099
±0.1834346425
o
x0
xk
xn
x
给定被积函数f(x)、积分区间[a,b]、 精度要求ε，令K=0
用复化梯形公式（或复 化Simpson公式）计算Ik
步长减半，计算Ik+1
否
k=k+1
I K 1 I K
是
变步长求积 策略
输出结果
Gauss求积公式
如果具有n+1个积分节点的求积公式
I Ak f ( xk )
3577 17280 751 17280
7
8
8
9
989 28350
5888 28350
928 28350
10496 28350
4540 28350
10496 28350
928 28350
5888 28350
989 28350
复化求积思想
hn T f ( a ) 2 f ( x ) f ( b ) fn (x ) 2 内节点
3
4
Gauss-Hermite积分公式
部分求积节点和系数
n 0 1 2 3 4 xk 0 ±0.7071067812 ±1.2247448714 0 ±1.6506801239 ±0.5246176233 ±2.0201828705 ±0.9585724646 0 ±2.3506049737 ±1.3358490740 ±0.4360774119 ±2.6519613568 ±1.6735516288 ±0.8162878829 0 Ak 1.7724538509 0.8862269255 0.2954089752 1.1816359006 0.0813128354 0.8049140900 0.0199532421 0.3936193232 0.9453087205 0.0045300099 0.1570673203 0.7246295952 0.0009717812 0.0545155828 0.4256072526 0.8102646176
0.3137066459
0.3626837834
Gauss-Laguerre积分公式
部分求积节点和系数
n 0 1 2 xk 1 0.5857864376 3.4142135624 0.4157745568 2.2942803603 6.2899450829 0.3225476896 1.7475611012 4.5366202969 9.3950709123 0.2635603197 1.4134030591 3.5964257710 7.0858100059 12.6408008443 Ak 1 0.8535533906 0.1464466094 0.7110930099 0.2785177336 0.0103892565 0.6031541043 0.3574186924 0.0388879085 0.0005392947 0.5217556106 0.3986668111 0.0759424497 0.0036117587 0.0000233700
k 0
n
Gauss点
具有2n+1次代数精度，称之为Gauss 求积公式。
Gauss求积公式

Gauss-Legendre求积公式 Gauss-Laguerre求积公式
Gauss-Hermite求积公式
Gauss-Chebyshev求积公式
Gauss求积公式的特点
（1）最高代数精度的求积方法 （2）积分系数与求积节点有关
O
a
b
x
Newton -Cotes公式
梯形公式（两等距节点） b a T f (a) f (b)
2
Simpson公式（三等距节点）
ba S f (a) 4 f 6 ba f (b) 2
Newton-Cotes公式（n+1个等距节点）
Gauss-Legendre积分公式
部分求积节点和系数
n xk
Ak
n
xk
Ak
0 2 0 5 1 ±0.5773502692 1 2 ±0.7745966692 0.5555555556 0 0.8888888889 6 3 ±0.8611363116 0.3478548451
±0.3399810436 0.6521451549
A lg f lg P 2.303RT
其中，
A dP
P 0
P 0 100 200 300 400 500 -α 15.46 15.46 15.46 15.61 15.85 15.93

f(x) A f(a)
b
a
f ( x)dx
B f(b )
O
a
b
x
f(x)
B f(b)
A f(a)
MATLAB 科学计算
第3章 插值 3.1 插值方法
3.2 插值功能函数 3.3 插值函数曲线的绘制
3.4 插值GUI工具箱
第4章
数值积分与数值微分
4.1 数值积分方法
4.1 数值积分方法
连续ห้องสมุดไป่ตู้数f(x)在[a,b]上的积分

b
a
f (x x )dx F F ( x) a
b
求真实气体逸度 f
等距节点
2
3
积分系数与节点无关
1 8 16 45 25 144 7 90 25 96 19 288
3
4
4
5
5
6
6
7
41 840
751 17280
9 35
3577 17280
9 280
1323 17280
34 105
2989 17280
9 280
2989 17280
9 35
1323 17280
41 840
I (b a) yk Cnk
k 0 n
n阶Newton -Cotes求积公式


容易构造
复化求积公式易于形成 n是奇数，代数精度至少为n,
n是偶数，代数精度至少 n+1
Newton-Cotes公式系数表
n
1 节点数 2
1 2 1 6 1 8 7 90 19 288
1 2 2 3 3 8 16 45 25 96 1 6 3 8 2 15 25 144