极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 三、对点详析，利器显锋芒★已知函数)()(R x xe x f x∈=-.(1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x . ★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2()ln f x x x =+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。

所以241>-x ，而)4ln(42ln 2)4()(111111x x x x x f x f -+--+=--， 令)4ln(ln 422)(x x xx x h -++--=，则)4()2(8)4()4()4(2)4(2411)4(22)('22222222222<---=--+-+---=-++---=x x x x x x x x x x x x x x x x h所以函数)(x h 在)2,0(为减函数，所以0)2()(=>h x h ，所以0)4()(11>--x f x f 即)4()(11x f x f ->，所以)4()(22x f x f ->，所以421>+x x . ★已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 四、招式演练★已知函数()22x a g x e x =+，其中, 2.71828a R e ∈=L 为自然对数的底数，()f x 是()g x 的导函数. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若1a =-，证明：当12x x ≠，且()()12f x f x =时， 120x x +<.【答案】(1) 当0a ≥时， ()f x 无极值; 当0a <时, ()f x 有极小值()()()ln ln f a a a a -=-+-;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数f （x ）的导数，设函数F （x ）=f （x ）﹣f （﹣x ），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．试题解析：（Ⅰ）()()x f x g x e ax ==+'的定义域为(),-∞+∞， ()x f x e a '=+当0a ≥时， ()0f x '>在(),x ∈-∞+∞时成立()f x ∴ 在(),-∞+∞上单调递增， ()f x 无极值.当0a <时， ()0xf x e a ='+=解得()ln x a =- 由()0f x '< 得()ln x a <-；由()0f x '> 得()ln x a >-所以()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增，故()f x 有极小值()()()ln ln f a a a a -=-+-.（Ⅱ）当1a =-时， ()x f x e x =-的定义域为(),-∞+∞， ()1xf x e '=-， 由()10x f x e ='-=，解得0x =.当x 变化时， ()f x '， ()f x 变化情况如下表： x (),0-∞0 ()0,+∞ ()f x ' -0 + ()f x 单调递减 极小值 单调递增∵12x x ≠，且()()12f x f x =，则120x x <<（不妨设12x x <）★已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈ （1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 有极大值为12-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明： 124x x a +>. 【答案】（1）102a e<<;（2）见解析.（1）当0a ≤时， ()0f x '>函数()f x 在()0,+∞上单调递增，不可能有两个零点（2）当0a >时， ()10,2f x x a='= x 10,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 12a1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ ()f x '+ 0 - ()f x Z 极大值 ]()f x 的极大值为111ln 222f a a =-，由11ln 022a ->得102a e <<； 因为()()22ln 0a a a a f e e ae a ae ----=-=--<，所以()f x 在12a e a -⎛ ⎝必存在一个零点；显然当x →+∞时， ()0f x <，所以()f x 在1,2a ⎫+∞⎪⎪⎭上必存在一个零点；。