高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合 Ax|x 22x 3 0 ，Bx|ax 1若 B A ，则实数 a 的值构成的集合为3. 注意下列性质：（ 1）集合 a 1， a 2，,, ， a n 的所有子集的个数是 2n；要知道它的来历：若B 为 A 的子集，则对于元素a 1 来说，有 2 种选择（在或者不在） 。

同样，对于元素a 2, a 3,,,a n ,都有 2 种选择，所以，总共有 2n种选择， 即集合 A 有 2n个子集。

当然，我们也要注意到，这 2n种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n1，非空真子集个数为 2n2（2）若AB A B A ，A B B ；（3）德摩根定律：C U ABC U A C U B ，C U ABC U A C U B有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于 x 的不等式ax50的解集为 M ，若 3 M 且 5 M ，求实数 ax2a的取值范围。

7. 对映射的概念了解吗？映射 f ：A → B ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。

）注意映射个数的求法。

如集合 A 中有 m 个元素，集合B 中有 n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m个。

如：若 A{1,2,3,4} ， B { a, b, c} ；问： A 到 B 的映射有个， B 到 A 的映射有 个； A 到 B 的函数有个，若 A {1,2,3} ，则 A 到 B 的一一映射有个。

函数 y( x) 的图象与直线 x a 交点的个数为个。

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备 )9. 求函数的定义域有哪些常见类型？x 4x 例：函数y2 的定义域是lg x3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f (x )的定义域是 a ， b ， ba0，则函数 F(x )f (x) f ( x)的定义域是 _____________ 。

例若函数 y f (x) 的定义域为1,2 ，则的定义域为。

211、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数 y= 1的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数 y= x 2-2x+5 ，x [-1 ， 2] 的值域。

3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面a yb 型：直接用不等式性质.k+x 2b. ybx型 , 先化简，再用均值不等式x2mxn例： yx 1 11+x212x+xc y x2mxn型 通常用判别式 ..x 2mx nd. y x 2mx n型 x n法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉x 2x 2 ）+111 （ x+1） （ x+1 ）例： yx 1 x 1（ x+11211x 15、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例求函数 y=x+x 1 的值域。

8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

22例：求函数 y= (x 2) + (x8) 的值域。

倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数 y=x 2的值域x 312.求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如： f x 1e x x，求 f (x).15. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x 2，找出 f(x 1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求f ( x1) f ( x2)的正负号或者f ( x1)与1的关系x1x2 f (x2 )(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a ， b) 对称，函数f(x)在关于点(a ， 0) 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝ a 对称，则函数f(x)在关于点(a ，0) 的对称区间里具有相反的单调性。

（特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：①函数 f(x) 与 f(x) ＋ c(c 是常数 ) 是同向变化的②函数 f(x) 与 cf(x)(c 是常数 ) ，当 c ＞ 0 时，它们是同向变化的；当c ＜0 时，它们是反向变化的。

③如果函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) ＋ f2(x) 和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与 f2(x) 同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化； （函数相乘）⑤函数 f(x) 与1在 f(x) 的同号区间里反向变化。

f ( x)⑥若函数 u ＝ φ (x) ，x[ α，β ] 与函数 y ＝F(u) ，u ∈[ φ ( α ) ，φ( β)] 或 u ∈ [ φ ( β ), φ ( α)] 同向变化，则在 [ α， β] 上复合函数 y ＝F[ φ(x)] 是递增的；若函数u ＝φ (x),x[ α ，β ] 与函数 y ＝ F(u) ，u ∈ [ φ ( α) ，φ ( β )] 或 u∈ [ φ( β) ， φ( α )] 反向变化，则在 [ α ，β ] 上复合函数 y ＝F[ φ(x)] 是递减的。

（同增异减）⑦若函数 y ＝ f(x) 是严格单调的，则其反函数 x ＝ f － 1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都 是 正数 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 减 增 减 / / 减减 增 减减17. 函数 f(x) 具有奇偶性的条件是什么？（ f (x) 定义域关于原点对称） 若 f ( x) f (x )总成立 f ( x) 为奇函数 函数图象关于原点对称 若 f ( x) f (x) 总成立f ( x) 为偶函数函数图象关于 y 轴对称注意如下结论：（ 1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（ 2）若 f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则 f(0) 0。

（ 3）f （x ）是定义域在（ -6,0），（ 0， 6）上的奇函数，若 x ＞ 0 时 f （ x ）= 求 x ＜ 0 时 f （ x ）判断函数奇偶性的方法一、 定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件 .若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数 .二、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 f ( x) ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性 .这种方法可以做如下变形奇函数 偶函数f(x) 1偶函数f(-x) f(x)1奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性f(x)-f(-x)=0f(x)+f(-x) =0f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非奇偶偶奇偶非奇非奇偶偶偶偶偶偶18. （若存在实数T（T0），在定义域内总有 f x T f (x )，则 f ( x)为周期函数，T是一个周期。

）如：若 f x a f ( x) ，则我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0, 我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：f ( x ) f ( x t )0f ( x )f ( x 2 t ) ，f ( x t )f ( x 2 t ) 0同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思：函数f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。

比如，f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线 x=a 对称。

又如：若f ( x)图象有两条对称轴，x bx a即f ( a x) f (a，f (b x) f (b x) x)f (x) f (2a x)f (2a x) f (2 b x) f (x) f (2b x)令t 2a x, 则2b x t2b 2a, f (t) f (t2b 2a)即f ( x) f (x 2b 2a)所以 ,函数 f ( x)以2 | b a | 为周期 (因不知道 a,b的大小关系 , 为保守起见 ,我加了一个绝对值如：19.你掌握常用的图象变换了吗？f ( x) 与f ( x)的图象关于y轴对称联想点（x,y）,(-x,y)f ( x) 与 f ( x) 的图象关于 x轴对称联想点（ x,y） ,(x,-y)f ( x) 与 f ( x ) 的图象关于原点对称联想点（ x,y ） ,(-x,-y)f ( x) 与f1 (x)的图象关于直线 y x 对称联想点（ x,y ）,(y,x)f ( x) 与f (2a x) 的图象关于直线 x a 对称联想点（x,y）,(2a-x,y)f ( x) 与 f (2a x)的图象关于点 (a，0) 对称联想点（ x,y ） ,(2a-x,0)将 y f (x)图象左移 a(a0)个单位y f (x a)右移 a(a0)个单位y f (x a)上移 b(b0)个单位y f ( x a)b下移 b(b0)个单位y f ( x a)b注意如下“翻折”变换：f ( x)把轴下方的图像翻到上面| f ( x ) |xf ( x)把轴右方的图像翻到上面f ( | x | )y19.(k<0) y(k>0)y=bO’ (a,b)O xx=a（ 1）一次函数： y kx b k0(k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点 )（ 2）反比例函数： y k k0 推广为 y b k k0 是中心 O'( a， b)x x a的双曲线。