福建省莆田四中2010届高三下学期理科数学综合练习一、选择题1. 若{2,3,4},{|,,,}A B x x n m m n A m n ===⋅∈≠，则集合B 的元素个数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52. 若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z= （ ）A. i 2323+-B. 322-C. 322+ D．322-- 3. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,18S S ==，则105S S 等于（ ） A ．3- B ．5 C ．31- D ．334. 定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等于（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．4 5．函数sin 2y x =的图象经过适当变换可以得到cos2y x =的图象，则这种变换可以是（ ）A ．沿x 轴向右平移4π个单位 B ．沿x 轴向左平移4π个单位 C ．沿x 轴向左平移2π个单位D ．沿x 轴向右平移2π个单位6. 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到21之间的概率为 （ ）A ．31 B ．π2C ．21D ．32 7.函数()cos lg f x x x=-的零点个数是（ ）A ．6B ．8C ．4D ．28. 已知y = f (x )是定义在(–2，2)上的偶函数，且f (x )在[0，2)上是增函数，若f (m –2) – f (m + 1)<0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（12，1） C ．（0，12） D ．（12，2）9. 若()2cos()f x x m ωϕ=++，对任意实数t 都有()()4f t f t π+=-，且()18f π=-，则实数m 的值等于（ ）A ．±1B ．±3C ．－3或1D ．－1或310. 如果直线04122=-++++=my kx y x kx y 与圆交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx ，表示的平面区域的面积是（ ） A ．41B ．21C ．1D ．2 二、填空题11. 二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 12.220(42)(43)x x dx --=⎰．13. 已知正方形ABCD ,则以B A ,为焦点,且过D C ,两点的椭圆的离心率为 14. 已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a += 。

15. 15．观察下列等式：1535522C C +=-， 1597399922C C C ++=+， 159131151313131322C C C C +++=-，1591317157171717171722C C C C C ++++=+，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于*n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++=L三、解答题16. 已知x R ∈，向量2(cos ,1),(2,3sin 2)OA a x OB a x a ==-u u u r u u u r ，()f x OA OB =⋅uu u r uuu r ，0a ≠.（Ⅰ）求函数)(x f 解析式，并求当a >0时，)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）当]2,0[π∈x 时,)(x f 的最大值为5，求a 的值.17. 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90ADC DCB ∠=∠=o，1AD =，3BC =，2PC CD ==，PC ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDE 所成的角正弦值； （Ⅲ）求点B 到平面PDE 的距离.18．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。

19. 如图，直角梯形ABCD 中，∠︒=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=23，BC=21, 椭圆F 以A 、B 为焦点且过点D 。

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程； （Ⅱ）若点E 满足21=,是否存在斜率与的直线l k 0≠M 、F 交于椭圆N 两点， DPEBC且||||NE ME =，若存在，求K 的取值范围；若不存在，说明理由。

20. 设函数2()ln f x x x ax =++.（Ⅰ）若x ＝12时，()f x 取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设2()()1g x f x x =-+，当a =－1时，证明0)(≤x g 在其定义域内恒成立，并证明)1(212lnlnln23322222222---<+++n n n n n Λ ）（2,≥∈n N n21．①设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4251A ，求A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。

②已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是θρθρsin 2cos 2a ==和 （a 是非零常数）。

（1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两圆的圆心距为5，求a 的值。

C BD Ay数学（理科）试题参考答案一、选择题 1-5 BADBB AABCA二、填空题 11.10 12.8 13. 12- 14. 31 15. ()4121212nn n --+-三、解答题16、解：（Ⅰ）2()2cos sin 2f x a xx a =+-sin 2cos 2x a x =+2sin(2)6a x π=+.222(),()26236k x k k k x k k 当时即时pppp pp p p p -???＃+?Z Z . ()(),()6f x f x k k k 为增函数,即的增区间为-3p pp p 轾犏+?犏臌Z ………9分（Ⅱ）()2sin(2)6f x a x π=+，当]2,0[π∈x 时，72[,]666x πππ+∈.若0,262a x p p >+=当时,()f x 最大值为25a =，则52a =.………11分 若)(,6762,0x f x a 时当ππ=+<的最大值为5a -=,则5a =-. …12分[来17.如图所示,建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0),(2,1,0)C A ,(0,3,0)B ，(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(1,2,0)E .（Ⅰ）由于(1,2,0)DE =-u u u r ，(2,1,0)CA =u u u r ,(0,0,2)CP =u u u r， 所以(1,2,0)(2,1,0)0DE CA ⋅=-⋅=u u u r u u u r，(1,2,0)(0,0,2)0DE CP ⋅=-⋅=u u u r u u u r，所以,DE CA DE CP ⊥⊥，而CP CA C =I ，所以DE ⊥平面PAC ，∵DE ⊂平面PDE （Ⅱ）设(,,)n x y z =r是平面PDE 的一个法向量，则n ⋅r 由于(1,2,0)DE =-u u u r ，(1,2,2)PE =-u u u r，所以有(,,)(1,2,0)20(,,)(1,2,2)220n DE x y z x y n PE x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩r u u u r r u u ur ， 令2x =，则1,2y z ==，即(2,1,2)n =r，再设直线PC 与平面PDE 所成的角为α，而(0,0,2)PC =-u u u r ，所以|(2,1,2)(0,0,2)|2sin |cos ,||(2,1,2)||(0,0,2)|3||||n PC n PC n PC α⋅⋅-=<>===⋅-⋅r u u u rr u u u r r u u u r ， 因此直线PC 与平面PDE 所成的角为正弦值为2sin 3α=…………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,1,2)n =r 是平面PDE 的一个法向量，而(1,1,0)BE =-u u u r，所以点B 到平面PDE 的距离为|||(2,1,2)(1,1,0)|1|(2,1,2)|3n BE d n⋅⋅-===r u u u rr………12分 18、【解析】 解：记“第i 局甲获胜”为事件)5,4,3(=i A i ，“第j 局甲获胜”为事件)5,4,3(=j B i 。

（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则4343B B A A A ⋅+⋅=，由于各局比赛结果相互独立，故)()()()()()()()(434343434343B P B P A P A P B B P A A P B B A A P A P +=⋅+⋅=⋅+⋅=52.04.04.06.06.0=⨯+⨯=。

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而54354343A B A A A B A A B ⋅⋅+⋅⋅+⋅=，由于各局比赛结果相互独立，故 )()(54354343A B A A A B A A P B P ⋅⋅+⋅⋅+⋅=648.06.04.06.06.06.04.06.06.0)()()()()()()()()()()(5435434354354343=⨯⨯+⨯⨯+⨯=++=⋅⋅+⋅⋅+⋅=A P B P A P A P A P B P A P A P A B A P A A B P A A P 19、解 ：（Ⅰ）以AB 中点为原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图则A （-1,0）,B(1,0), D(-1,23),设椭圆F 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ……………2分 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1123)1(222222b a b a…… 4分 得3410417422224==∴>=+-b a a a a Θ所求椭圆F 方程 13422=+y x … 6分（Ⅱ）由)21,0(21E 得=,显然)0(≠+=⊥k m kx y l AB l 方程设时不合条件代入01248)43(13422222=-+++=+m kmx x k y x 得 ……………7分l 与椭圆F 有两不同公共点的充要条件是0)124)(43(4)8(222>-+-=∆m k km …… 8分即03422>+-m k ,设、y x M ),(11),(),(0022y x P ，MN y x N 中点,MN PE NE ME ⊥=等价于|||| 2022104344382kkmx k kmx x x +-=∴+-=+=Θ 200436k mm kx y +=+= ,kx y MNPE 12100-=-⊥得… 10分得 k k km k m 14342143622-=+--+ 得 2432k m +-= 代入 0234340222>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+>∆k k 得41434022<<+<k k 得Θ 又)21,0()0,21(0⋃-∈≠k k k 取值范围为故Θ …12分21．（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=251ξ是矩阵A 的属于特征值11-=λ的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112ξ是矩阵A 的属于特征值61=λ的一个特征向量。