变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与 以实轴为直径的圆相切．
例5、求过定点（1,2），以x轴为准线，离心率为 0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。
三、课堂小结
1.圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥 曲线的定义来求解比较简捷； 2.涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、 圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
X2
a2b2 b P2
ax2
P1
a
b1
B A
a1
作图：
a1
P1
P2 X2
四、换面法的六个基本问题
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。
a
V
b
A
P1a1
b1
B
作图：
a XV
H
b b
a
Hb
换H面行吗？ 不行！
a
.
H
X1 P1
a●1
●
b1
新投影轴的位置？
与ab平行。
y2 b2
1(a>b>0)上一点，
Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求|PF１|·|PF２|的最大值
和最小值。
例4．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交这 抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和这抛
物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简 捷．
[思维点拨]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相 切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准 线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相 交．以上结论均可用第二定义证明之．
2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
三、点的投影变换规律
⒈ 更换一次投影面
⑴ 新投影体系的建立
a
a
V
ax
X
A
a1 P1
ax1
a
V X
ax
H
a
a1
. ax1
H P1 X1
H
X1
旧投影体系 X —VH
A点的两个投影：a， a
新投影体系
X1
—P1 H
A点的两个投影：a，a1
2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距
离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个
投影。
a1 b1
X1
V b'
a'
H1
a1'•
b1' B
b' a'
X
Ab
X
V H
aH
a
b
一般位置直线变换为垂直线
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
四、作业布置：优化训练。
第三章 变换投影面法
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？
解决方法：更换投影面。
换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。
例３：已知Ａ（ 11 ，３）为一定点，Ｆ为
2
x2 y 2 1 双曲线的右焦点，Ｍ在双曲线右支
9 27
上移动，当|ＡＭ|＋
1
|ＭＦ|最小时，求Ｍ点
2
的坐标．
[思维点拨]距离和差最值问题，常利用三角形两边之
和差与第三边之间的关系. 1 数量关系用定义来进行
转换
2
变式：设Ｐ（x,y）是椭圆
x2 a2
(2a | F1F2 |) }的点的轨迹。
知识精讲：
抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直 线Ｌ的距离相等的点的轨迹．
统一定义：M={P| PF e ，}0＜e＜1为椭圆，e>1 为双曲线，e＝1为抛d物线
重点、难点：培养运用定义解题的意识
2.思维方式：等价转换思想，数形结合
特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系Aa 源自1ax1按次序更换
H
X1
先把V面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系:
X1
—P1 H
再把H面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系:
X2
—P1 P2
⑵ 求新投影的作图方法
a
XV
ax
H
作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
a ax1 .
H X1 P1
a2 ax2 .
圆锥曲线定义应用
高三备课组
一、基本知识概要
1.知识精讲：
·涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用第一定义结合正余弦定理； ·涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统 一的定义。
椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞ |F1F2|}；
双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a，
⑵ 新旧投影之间的关系
a
V a
ax
X
A a1 P1
ax1
a
V X
H
H
一般规律：
X1
ax
a1
. ax1
a
H P1 X1
aa1 X1 a1ax1 = aax
点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直
于新投影轴。
点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影
到原投影轴的距离。
⑶ 求新投影的作图方法
的两焦点，P是椭圆上任一点, 从任一焦点引
∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹 为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
例２：已知双曲线
x2 y2 1
（a＞０，b＞
a2 b2
０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求
ΔF1PF2的面积．
[思维点拨]焦点三角形中，通常用定义和正余 弦定理
被替换
的投影面 被替换
的投影
a' B
b1'
V
新投影 新投影面
老轴
b'
X
老投影体系 V/H 被保留 的投影
V1
b
a1'
A
a
H
X1
被保留
新轴
的投影面
新投影体系 V1/H
二、新投影面的选择原则
P
V
a A
a1
平行于新的投影面
b
B
b1 垂直于新的投影面
a
Hb
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。
更换V面
a
V XH
ax
a
ax1
.
H P1 X1
作图规律：
更换H面
X1 H
P1
a1
. ax1
a ● a1
XV ax H
a
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
V a
ax
X
X2
a2
P2
ax2 P1
例题选讲
例1 、 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别 为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与 圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨 迹方程，并说明轨迹是何种曲线。
[思维点拨]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常 用的方法
变式练习：F１、F２是椭圆
x2 y2
a2 b2
1（a>b>0）