图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
T0
➢极坐标形式的傅里叶级数的系数
Ak Bk2 Dk2
由正弦—余弦形式傅里叶级数的
tgk Dk Bk
➢另一种求法：
系数确定
Bk Re{ck }, Dk Im{ck }, k 0
根据欧拉公式
ejt=cos(t)+jsin(t) e-jt=cos(t)-jsin(t)
sin(t)=(ejt-e-jt)/(2j) cos(t)=(ejt+e-jt)/2
得 x(t) 1 (1/ 2)cos 2t cos4t (2 / 3)cos6t
X(t)是实信号
因为 x(t) x(t)
2 Dk sin k0t k 1
❖任何 2信D号k x(Tt4)0都0T可0 以2 x分(t)解sin为k偶0函t d数t 和奇函数两部分。
Ev{x(t)} {[ x(t) x(t)]}/ 2 Od{x(t)} {[ x(t) x(t)]}/ 2
4.4波形对称性与傅里叶系数
3 偶半波对称
例4－7
习题1
如图所示信号为周期信号的一个周期，其付氏级数包含 ( ) A. 直流 、 偶次余弦项 B. 直流 、奇 次余弦项 C. 直流 、 偶次正弦项 D. 直流 、 奇次正弦项
习题2
信号如图所示，其三角型付氏级数为（ ）
A.
n 为奇数
B.
n 为偶数
C.
n 为奇数
D.
n 为偶数
4.5周期信号的频谱与功率谱
4.4波形对称性与傅里叶系数
1 偶对称 x(t) x(t)
❖波形对纵轴对称 ❖奇函数在对称区间积分为零 ❖傅里叶级数中只有常数项和余弦项
x(t) c0 2B1 cos0t 2B2 cos 20t 2Bk cos k0t
c0 2 Bk cos k0t k 1
2Bk
4 T0
T0
第四章 连续时间傅立叶变换
连续时间信号的谱分析和时－频分析
4.1 引言
➢时域中，连续信号的基本信号是冲激函数，离散信号的 基本信号是抽样序列；以冲激（抽样）响应作为基本响 应。
➢频域中以复指数函数或序列作为基本信号。系统响应表 示为不同频率的复指数信号响应的加权或积分。 ➢原因：1）它是LTI系统的特征函数。
➢正弦函数 sin n0t 和余弦函数 cos n0t 在区间 (t1, t1 T0 ) 内是正交函数。
4.3 周期信号的表示 连续时间傅里叶级数
1 用指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数
➢复指数函数集 k e jk0t , k 0,1, ,
加权组合的信号 x(t) ck e jk0t
k 1
3 傅里叶级数系数的确定
➢周期信号的复指数形式的傅里叶级数：
x(t)
ck e jk0t
k
ck
1 T0
x(t )e jk0t dt
T0
➢已知x(t)可以分析出所含的频谱；
➢系数 ck 称为x(t)的傅里叶系数或频谱； ➢系数 c0 是x(t)中的直流或常数分量
1
c0
T0
x(t )d t
2）
c0
1 T0
T0
x(t)dt＝ 1 T0
T1 / 2 －T1 / 2
A dt
AT1
/ T0
ck
1 T0
x(t )e jk0t dt
T0
1 T0
T1 / 2 Ae jk0t dt
T1 / 2
(2 A / k0T0 ) sin(k0T1 / 2) ( A / k ) sin(kT1 / T0 )
3）
x(t)
ck e jk0t
复指数形式的傅立叶级数
k
正－余弦形式的傅立叶级数
例 4－4 已知 x(t) 7 cos0t 3sin0t 5,求cos其2复0t 指4数sin形2式0t 的傅 立叶级数
解:
x(t) c0 2 [Bk cos k0t Dk sink0t]
k 1
对比
2B1 7, 2D1 3, 2B2 5, 2D2 4, 其余系数2Bk 0, 2Dk 0
k
k 1
将| ck | 和 argck 对k0 的函数关系绘成图，称为复指数频谱 图4－10 (b)
| ck || ck | Ak
argck argck k , k 0
➢为镜像对称方式；
➢这时x(t) 只含有奇次谐波；
0 k为偶数
2Bk
4
T0
T0
2
x(t) cos k0t
dt
0
k为奇数
0 k为偶数
2Dk
4
T0
T0
2
x(t) sin k0t
dt
0
k为奇数
4.4波形对称性与傅里叶系数
5 双重对称
➢X(t)是奇函数或偶函数，同时又具有奇半波对称或偶半波对称； ➢这种波形对与纵轴相隔 的垂线对称，又称为1/4波对称； ➢通过例4－6说明双重对称T0有4与傅里叶系数的关系。 ➢ 表4－1 波形对称性、对称条件及其对应的傅里叶系数； ➢求复杂函数的傅里叶系数时，可以先求其偶部和奇部的傅里叶 系数，然后相加。
k 1
傅里叶级数的 三角函数形式
2 三角函数形式的傅里叶级数
在连续时间情况下，实周期信号的傅里叶级数的三角函数形式：
➢极坐标形式：令 ck Ak e jk
x(t) c0 2 Ak cos(k0t k ) k 1
➢正弦—余弦形式形式：
数学上等效
令 ck Bk jDk
x(t) c0 2 (Bk cos k0t Dk sin k0t)
2
x(t) cos k0t
dt
0
4.4波形对称性与傅里叶系数
2 奇对称 x(t) x(t)
❖波形对原点对称 ❖ x(t) cosk0t 为奇函数，x(t) sin k0t 为偶函数；奇函数 在对称区间积分为零 ❖傅里叶级数中只有正弦项
x(t) 2D1 sin 0t 2D2 sin 20t 2Dk sin k0t
x(t) ck e jk0t
k
两边取共轭 x(t)
ck*e jk0t
k
以－k替代k
x(t)
c－k*e jk0t
k
比较
ck c*k 或 ck* ck
2 三角函数形式的傅里叶级数
x(t)
ck e jk0t
k
重写
x(t) c0 [ck e jk0t ck e jk0t ]
x(t)
ck e jk0t
k 3
式中 c0 1, c1 c1 1/ 4, c2 c2 1/ 2,c3 c3 1/ 3,0 2
求(a)其三角函数表示式；(b)用图解方法表示各谐波分量的
波形及其合成波形x(t).
解： x(t) 1 (e j2t e j2t )/ 4 (e j4t e j4t )/ 2 (e j6t e j6t )/3
➢三角函数形式的傅里叶级数： x(t) c0 2 Ak cos(k0t k ) k 1 将 Ak 对 k0 的函数关系，绘成图，称为振幅频谱图，简称为频谱图； 将 k 对 k0 的函数关系，绘成图，称为相位频谱。
➢ x(t) 频谱 ➢图4－10 (a)
单边频谱
x(t)
ck e jk0t c0 (ck e jk0t ck e jk0t )
2）复指数是正交函数。 3）信号频率和信号本身是现实可观测。
➢信号的谱分析：把信号表示为一组不同频率的复指数函
数或正弦信号的加权和，称为信号的频谱分析或傅里叶
分析。
本章主要内容
4.2 复指数函数的正交性
V2
两矢量V1与V2正时的夹角为
90°。不难得到两正交矢量
的点积为零， 即
90°
o
V1
V1V 2 V1 V2 cos90 0
掌握 式 4－44，4－45，4－46
例 4－2 已知x(t)是一周期的矩形脉冲，如图所示，求其傅 里叶级数。