相似三角形全章总结
要点链接
☆等比性质： .
☆相似三角形的判定方法： . ☆相似三角形的性质： . 范例点悟
考点一.比和比例
例1.若
578
a b c ==，且323a b c -+=，则243a b c +-的值是（ ） A.14 B.42 C.7 D.143 即学即练
1.若23
x y =，则32x y -等于（ ） A.3 B.2 C.1 D.0
2.甲、乙两地相距
3.5km ，画在地图上的距离为7cm ，则这张地图的比例尺为（ ）
A.2:1
B.1:50000
C.1:2
D.50000:1
3.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为30m ，主持人应走到靠近A 点 m 的黄金分割点处.（精确到1m ）
4.已知线段a=3cm ，b=4cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于 cm.
5.若,a b b c c a k c a b
+++===则k= . 考点二：平行线分线段成比例
例2.如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，过D 的直线交AC 于E ，交AB 的延长线于F ，求证：AE AF EC BF =
即学即练
6.如图1，在△ABC中，DE△BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= .
图1 图2
7.已知，如图2，△ABC中，D在AC上，且AD:DC=1:2,E为BD中点，AE的延长线交BC 于F，求证：BF：FC=1:3.
考点三：相似三角形的判定
例3.（1）如图3，AB=BC=CD=DE，△B=90°，则△1+△2+△3等于（）
A.45°
B.60°
C.75°
D.90°
图3 图4
（2）已知：如图4，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF△AC，
DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G.i）求证：AD²=DG·BD；ii）连接CG，求证：△ECB=△DCG.
即学即练
8.如图5，梯形ABCD中，AD△BC，AB=DC，点P是AD边上一点，连接PB、PC，且AB²=AP·PD，则图中有对相似三角形.
图5 图6
9.如图6，在三角ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果P，Q两点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
考点四：相似三角形的性质
例4.（1）两个相似三角形的面积比为1:4,则它们的周长之比为.
（2）如图7，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的平行线分别与AB、AC交于P，Q两点，过点P作PE△BC于点E，过点Q作QF△BC于点F.设AD=80，BC=120，当四边形PEFQ为正方形时，试求此正方形的边长
图7
即学即练
10.已知△ABC△△DEF，且AB：DE=1:2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）
A.1:2
B.1:4
C.2:1
D.4:1
11.如图8，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=5，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分△CBP，设BP=y，PE=x
（1）
1
4
x EF
=时，求S△DPE：S△DBC的值；（2）当
1
3
CQ CE
=时，求y与x之间的函数关
系式.
图8
考点五：射影定理
例5.如图9，△ABC中，△ACB=90°，CD△AB于D，BD=2，AD=8，求S△ABC
图9
即学即练
12.如图10，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高.（1）若AD=6cm ，CD=12cm ，求BD 的长；
（2）若AB=15cm ，BC=25cm ，求BD 的长
图10 图11
考点六：图形的位似 例6.如图11，在直角坐标系中，△ABC 的各顶点坐标为A （-1,1），B （2,3），C （0,3）.现以坐标原点为位似中心，作△A B C '''，使△A B C '''与△ABC 的位似比为23
，则点A 的对应点A '的坐标为 .
即学即练
13.已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0,3）、B （3,4）、C （2,2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.
（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是
（2）以点B 为位似中心，在网格图内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2:1，点C 2的坐标是 .
（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位
课后作业
A卷（基础巩固）
一.选择题
1.如图1，△ABC中，DE△BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）
A.1
2
B.
3
2
C.
5
2
D.
7
2
图1 图2 图3
2.如图2，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2，△DAC=△B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）
A.a
B.1
2
a C.
1
3
a D.
2
3
a
3.如图3，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE△BC，则图中与△ABC相似的三角形（△ABC除外）共有（）个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图4，已知△ABC的三个顶点坐标分别为（1,2），（-2,3），（-1,0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到A'、B'、C'.下列说法正确的是（）
A.△A B C
'''与△ABC是位似图形，位似中心是点（1,0）
B.△A B C
'''与△ABC是位似图形，位似中心是点（0,0）
C.△A B C
'''与△ABC是相似似图形，但不是位似图形
D.△A B C
'''与△ABC不是相似图形.
图4 图5
二.填空题
5.已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d= cm
6.已知
2
3
a c e
b d f
===，则
a e
b f
+
=
+
.
7.如图5，在边长为9的正△ABC中，BD=3，△ADE=60°，则AE的长为.
三.解答题
8.如图6，正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2（每一个小正方形的边长为1）
（1）求证：△A1B1C1△△A2B2C2；（2）请你再正方形网格中画一个以点C2为位似中心的三角形并将△A2B2C2放大2倍
图6
9.已知：如图7，四边形ABCD是菱形，△A=60°，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H.（1）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE 的长；（2）除△AEF外，△BEC与图中哪一个三角形相似，找出来并证明；（3）请说明BD²=DH·DE的理由
图7
B 卷（能力提高）
一.填空题
1.如图1，已知△1=△2，若再增加一个条件就能使结论“AB·ED=AD·BC”成立，则这个条件可以是 .
图1 图2 图3
2.如图2，菱形ABCD 中，点M 、N 在AC 上，ME△AD ，NF△AB ，若NF=NM=2，ME=3，则AN= .
3.如图3，在△ABC 中，△A=60°，BM△AC 于点M ，CN△AB 于点N ，P 为BC 边中点，连接PM ，PN ，则下列结论：△PM=PN ；△AM AN AB AC
=；△△PMN 为等边三角形；△当△ABC=45°时，
PC ，其中正确的序号是 .
4.将一副三角尺如图4所示叠放在一起，则BE EC
的值是 .
图4
二.解答题
5.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 上的一个动点，连接DE ，交AC 于点F.（1）如图△，当13CE EB =时，求CEF CDF S S 的值；（2）如图△，当DE 平
分△CDB 时，求证：
OA ；（3）如图△，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG△BC 于点G ，求证：
CG=
1
2
BG
6.已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.
1）求证：△OCP△△PDA；2）若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求△OAB的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME△BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段EF的长度。