第二章 静电场 练习题及参考答案1、均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。

试求 （1） 球内任一点的电场 （2） 球外任一点的电位移矢量 解：（1）（2）a r e ˆrQeˆD D r r >==204π2、放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为 r erq E ˆ420πε=（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。

解:（1）yC z x C y 21== 式中，21,C C 为任意常数。

（2）电力线图所示。

3、用球坐标表示的场225ˆre E r = ，求 （1） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的E ； （2） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的x E 分量解：（1）21252==r E（2）325r x E x =，2023-=xE 4、两点电荷C 41-=q ，位于x 轴上4=x 处，C 42=q 位于轴上4=y 处，求空间点()4,0,0ar E <=0图18-2处的（1）电位；（2）该点处的电场强度矢量。

解：（1）()0400=,,φ（2）()y xeer rq r rq E ˆˆ6424402320213101-=+=πεπεπε 5、一个点电荷q +位于()0,0,a -处，另一个点电荷q 2-位于()0,0,a 处，其中0>a 。

求 （1） 求出空间任一点()z y x ,,处电位的表达式； （2） 求出电场强度为零的点。

解：（1）建立如图18-1所示坐标空间任一点的电位⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=120214r r q πεφ 其中，()2221z y a x r ++-=，()2222z y a x r +++=（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的q +的左侧，设位于x 处，则在此处电场强度的大小为 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=220214a x a x q E πε 令上式等于零得()()2221a x a x +=-求得 ()a x 223+-=6、真空中均匀带电球体，其电荷密度为ρ，半径为a ，试求 （1） 球内任一点的电位移矢量 （2） 球外任一点的电场强度 解：（1）r D3ρ=a r <（2）当a r >时，r r a E3033ερ=7、设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为l ρ，如图所示，求 （1） 空间任一点处的电场强度；（2） 画出其电力线，并标出其方向。

解（1）（2）其电力线如图2所示。

8、设0=z 为两种媒质的分界面，0>z 为空气，其介电常数为01εε=，0<z 为介电常数025εε=的媒质2。

已知空气中的电场强度为z x e eE ˆˆ41+=，求 （1）空气中的电位移矢量。

（2）媒质2中的电场强度。

解：（1）空气中的电位移矢量 101E Dε=z x e eˆˆ400εε+= （2）由边界条件切向分量 412==x x E E 法向分量 012ε==z z D D故： 51/222==εz z D E 得媒质2中的电场强度为： z x e eE ˆ51ˆ42+=9、电偶极子电量为q ，正、负电荷间距为d ，沿z 轴放置，中心位于原点，求出空间任一点P ()z ,y ,x 处的电位表达式。

reE lr 02ˆπερ=图2图1解：()102044r q r q z ,y ,x πεπεφ-=其中，()()222222212/2/d z y x r d z y x r +++=-++=10、同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b ，内、外导体间介质为空气，其间电压为U （1）求a r <处的电场强度 （2）求b r a <<处的电位移矢量解：（1）导体内部没有电荷分布，故内导体内部a r <处的电场强度处处为零。

（2）设单位长内导体表面电荷密度为l ρ，由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿柱面径向r eˆ，在底面半径为r 长度为L 的柱体表面使用高斯定理得：002ερπ/L rLE Sd E S d E S d E S d E l r s=++=⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰底面顶面侧面可得b r a <<任一点处的电场强度为：reˆE lr 02περ=再由 a bdr r r d E U l bar l b ar ln 2200περπερ==⋅=⎰⎰==得b r a <<任一点处的电位移矢量为：()a /b r UeˆE D r ln 00εε==11、自由空间中一点电荷电量为2C ，位于()1,2,1S 处，设观察点位于()5,4,3P 处，求 （1）观察点处的电位 （2）观察点处的电场强度。

图2解：（1）任意点()z y x ,,处的电位()()()()2221214,,-+-+-=z y x qz y x πεφ将观察点代入()()()()02220641152413425,4,3πεπεφ=-+-+-=（2）源点位置矢量 z y x s e e er ˆˆ2ˆ++=场点位置矢量 z y x f e e er ˆ5ˆ4ˆ3++=点电荷到场点的距离矢量z y x s f e e er r R ˆ4ˆ2ˆ2++=-=62=R()z y xe eeR R q E ˆ2ˆˆ64814)5,4,3(030++==πεπε12、平行板电容器极板长为a 、宽为b ，极板间距为d ，如图所示。

设d x =的极板上的自由电荷总量为Q ，求（1）电容器间电场强度； （2）电容器极板间电压。

解：（1）建立如图所示坐标。

设上极板的电荷密度为σ，则abQ=σ 极板上的电荷密度与电场法向分量的关系为abQE n ==0εσ 由于平行板间为均匀电场，故abQe E e E x n x 0ˆˆε-=-=（2） 由：dx eE U x dx ˆ0⎰=⋅=将上面电场代入得：abQdU 0ε=13、电荷q 均匀分布在内半径为a, 外半径为b 的球壳形区域内，如图示：（1）求⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧><<<≤b r b r a a r 0各区域内的电场强度；（2）若以∞=r 处为电位参考点， 试计算球心（0=r ）处的电位。

解：（1）电荷体密度为：)(3433a b q -=πρ由高斯定理：⎰⎰=•vsdV S d E ρε0 可得，a r <≤0 区域内，01=Eb r a << 区域内，q a b a r r e E r333320241--=πεb r > 区域内，q re E r20341πε=（2）⎰⎰⎰∞•+•+•=bb aar d E r d E r d E 32010ϕ代入各量并计算得，b q b a a a b a b q 032233004)]11()(21[)(4πεπεϕ+----=14、图示球形电容器的内导体半径， 外导体内径，其间充有两种电介质与， 它们的分界面的半径为。

已知与的相对介电常数分别为。

求此球形电容器的电容。

（已知）ab解：15、图示极板面积为S 、间距为 d 的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S 、厚度为a 、介电常数为ε的介质板。

设左右两极板上的电荷量分别为Q +与 Q -。

若忽略端部的边缘效应，试求(1) 此电容器内电位移与电场强度的分布； (2) 电容器的电容及储存的静电能量。

解：（1）12x QD D e S==1100x D QE e S εε==，22x D Q E e S εε==（2) 011()S Q QC U E d a d a ε===-- 222Q Q S C U E a a ε=== 012120()S C C C C C a d a εεεε==++-2200()1122a d a Q W Q C S εεεε+-==16、半径为a 的均匀带电无限长圆柱导体，单位长度上的电荷量为τ，求空间电场强度分布。

解：因为电荷分布具有柱对称性，由静电场的高斯定理，可作一个与已知柱体同轴的、高为l 、半径为r 的柱面为高斯面S ，则分区域讨论：（1）r ＜a 时，由高斯定理得：0=EQ+Q-daεεεxo 1E 2E 1E Q+Q-daεεεxo1E 2E 1E（2）r ＞a 时，高斯面S 内包围的电荷量为 τl q =，同理可得r e rE ˆ20πετ=17、两个点电荷，电量分别为+q 和-3q ，相距为d ，试求：（1）在它们的连线上电场强度E=0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？ （2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？解：（1）据题意可知电场强度E=0的点一定在它们的连线的延长线上且位于电荷量为+q 的点一侧，设与电荷量为+q 的点电荷相距为r ，则由E=0得：0))(43(42020=+-+==r d qr q E E πεπε解得：d r 221+=。

（2）据题意可知电位0=U 的点)(a 可能在它们的连线上(b )也可能在它们的连线的延长线上且位于电荷量为+q 的点一侧，设与电荷量为+q 的点电荷相距为r ，则由0=U 可得：0))(43(400=--+=r d qrq U πεπε或 0))(43(400=+-+=r d qrqU πεπε分别解得：)(a d r 41=(b ) d r 21=18、一个半径为a 的电介质球内含有均匀分布的自由电荷，电荷体密度为0ρ。

证明其中心点的电位是 0232)12(εερεr r a +证明：由静电场的高斯定理可求得空间的电场强度分布为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〉=〈=)(ˆ3)(ˆ320302001a r e r a E a r e r E r r r ερεερ若选择无穷远为电位参考点，球心为坐标原点，则可得球心的电位为：dr E dr E Edr l d E aa ⎰⎰⎰⎰∞∞∞+==•=20100 ϕ将电场强度的大小分别代入，并计算得：02032)12(εερεϕr r a +=，结论得证。

19、证明极化介质中，极化电荷体密度b ρ与自由电荷体密度ρ的关系为：ρεεερ0--=b 证明：由高斯定理的微分形式ρ=•∇D及电位移矢量的定义式P E D+=0ε和极化电荷体密度公式P p •-∇=ρ得：b P P E P E D ρρεεερεεερ-=•∇+=•∇+•∇=+•∇=•∇=0000)( 化简得：ρεεερεερ00)1(--=--=p ，结论得证。

20、一个半径为a ，带电量为Q 的导体球，球外套有半径为b 的同心介质球壳，介质的介电系数为ε,壳外是空气。

求空间任意点的P E D,,及电位。

解：由介质中静电场的高斯定理，得空间各区域的电位移矢量分别为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〉=〈〈=〈=)(ˆ4)(ˆ4)(023221b r e r Q D b r a e r Q D a r D r r ππ空间各区域的电场强度分别为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〉=〈〈=〈=)(ˆ4)(ˆ4)(0203221b r e r Q E b r a e r Q E a r E r r πεπε空间各区域的极化强度矢量分别为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〉=〈〈-=〈=)(0)(ˆ)1(4)(030221b r Pb r a e r Q P a r P rεεπ 空间各区域的电位分别为)(4)11(403211a r bq b a qdr E dr E dr E bbaar〈+-=++=⎰⎰⎰∞πεπεϕb r a bq b r qdr E dr E brb〈〈+-=∞+=⎰⎰∞(4)11(40322πεπεϕ） )(4033b r rq dr E r〉==⎰∞πεϕ21、一半径为a，内部均匀分布着体密度为0ρ的电荷的球体。