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数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z＝i(1－i)(i为虚数单位)，则复数z对应点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|3x－x2>0}，则集合A∩B的子集个数为
A.2
B.3
C.4
D.8
3.已知角α顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边与直线x＝1有公共点，且sinα＝－3
5
，
则tanα＝
A.4
5
B.－
4
5
C.－
3
4
D.
3
4
4.春季，某小组参加学校的植树活动，计划种植杨树x棵，柳树y棵，由于地理条件限制，
x，y需满足条件
2x y5
x y2
x6
-≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪≤
⎩
，则该小组最多能种植两种树苗共
A.12棵
B.13棵
C.14棵
D.15棵
5.数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝
1
(1)
n n+
，则S99＝
A.1
B.
1
100
C.
98
99
D.
99
100
6.已知函数f(x)＝
()
2
x
log x x0
1
()(x0)
3
>
⎧
⎪
⎨
≤
⎪
⎩
，则f[f(
1
4
)]的值是
A.1
9
B.－
1
2
C.9
D.－9
7.在△ABC中，三个角满足2A＝B＋C，且最长边与最短边分别是方程3x2－27x＋32＝0的两根，则BC边长为
A.6
B.7
C.9
D.12
8.运行右图所示的程序框图，如果输入的n＝2020，则输出的n＝
A.63
B.64
C.7
D.6
9.四面体O－ABC的顶点都在同一球面上，其中OA，OB，OC，两两垂直，且OA＝OB＝2，OC＝1，则该球面的表面积为
A.9π
B.4π
C.12π
D.36π
10.函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调的一个充分不必要条件是
A.a∈[0，3]
B.a∈(0，5)
C.a∈(0，3)
D.a∈(1，2)
11.已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)。

过F1(－2，0)作倾斜
角为60°的直线L交上半椭圆于点A，以F1A，F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB，点B恰好也在椭圆上，则b2＝
333
12.已知f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f'(x)，若f(x)－f'(x)<1，f(0)＝2020，则不等式f(x)>2019e x＋1(其中e为自然对数的底数)的解集为
A.(－∞，0)∪(0，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(2019，＋∞)
D.(－∞，0)∪(2019，＋∞)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x 2cos y 3sin θθ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数，0≤θ<2π)，则曲线C 的普通方程为 。

14.已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8的方差为2，则2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，2x 4＋1，2x 5＋1，2x 6＋1，2x 7＋1，2x 8＋1这组数据的方差为 。

15.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，现在矩形OABC 中随机选取一点P(x ，y)，则事件：点P(x ，y)的坐标满足y ≥21(x 1)--的概率为 。

16.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在第一象限的双曲线C 上，且PF 2⊥x 轴，△PF 1F 2内一点M 满足1212::1:2:3MPF MPF MF F S S S ∆∆∆=，且点
M 在直线y ＝2x 上，则双曲线C 的离心率为 。

三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)
已知函数f(x)＝13
x 3＋ax 2＋bx ＋1，其导函数为f'(x)，不等式f'(x)<0的解集为(2，4)。

(1)求a ，b 的值；
(2)求函数在[0，3]上的最大值和最小值。

18.(12分)
今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花。

某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35)，得到右边收入频率分布直方图。

(1)求频率分布直方图中t 的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千
元)；
(2)己知从收入在[10，20)的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自[15，20)的概率。

19.(12分)
如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H 是BE的中点，现将△ABE沿着BE折起构成四棱锥A－BCDE，M是四棱锥A－BCDE棱AD的中点。

(1)证明：HM//平面ABC；
(2)当四棱锥A－BCDE体积最大时，求三棱锥M－ABC的体积。

20.(12分)
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左右焦点分别为F1，F2，若点B(03在椭圆上，
且△BF1F2为等边三角形。

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点F2在以MN为直径的圆上，求直线l的方程。

21.(12分)
已知函数f(x)＝a·e x＋b在点(0,f(0))处的切线方程为y＝x＋1。

(1)求a，b的值；
(2)已知函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称。

若不等式[k·f(x)－1]·x ≥g(x)＋1对x>0恒成立，求实数k的取值范围。

22.(10分)
选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
1 x1t
2
3
y1
2
t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
(t为参数)，以坐标原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝42sin(θ＋
4
π
)。

(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)己知点P(1，1)，若直线l与曲线C相交于M、N两点，求(PM|＋|PN|)2的值。