学校代码：学生学号：052094110白城师范学院毕业论文（设计）交通问题中的数学模型的分类与研究Classification and mathematical model of the traffic problems in the姓名：刘荣鹤指导教师：李春沅教授学科专业：信息与计算科学所在单位：数学学院2013年6月目录摘要： (1)关键词： (1)引言 (1)一、交通问题中数学模型的分类 (1)1、数学微分模型 (1)1.1交通流的基本函数： (1)1.2间断交通流 (3)1.3应用范围 (4)1.4模型优缺点 (4)2、动力学模型 (4)2.1交通流的流体力学模型 (4)2.2交通流的气体动力论模型 (5)2.3元胞自动机模型 (6)二、基于元胞自动机理论模型及其模拟研究 (8)1、交通流元胞自动机模型概述 (8)1.1 一维交通流元胞自动机模型 (8)1.2 FI模型 (9)2、交通流元胞自动机模拟 (8)2.1元胞参数定义 (10)2.2 元胞自动机规则 (11)2.4 结果分析 (12)2.5 结论 (13)三、小结 (14)四、参考文献 (14)交通问题中的数学模型的分类与研究摘要：本课题对以往交通问题中的数学模型进行分类总结，然后着重分析每种方法比如动力学模型等模型的使用范围以及相应的缺陷，并且在各种方法总结比较中，挑选动力学模型中元胞自动机模型进行使用，把车辆在路段上运动的变化规律表述为元胞自动机的演变规则，建立基于元胞自动机理论的交通流模拟模型。

标定了元胞长度和最大速度等参数，继而提出反映车辆在路段上自由行驶、跟驰行驶和减速行驶等交通行为的元胞自动机规则。

关键词：交通流数学模型分类元胞自动机引言：随着我国改革开放的不断深入，城乡经济的进一步繁荣，城市规模的日益扩大，城市交通中的各种机动车辆和非机动车辆数量迅速增加，从而使城市道路更为拥挤和难以管理，交通堵塞和拥挤严重、城市公共交通发展较慢，公交工具数量不足，结构单一，运营效率和效益低、交通管理设施、技术差，从而导致交通问题屡见不鲜。

因此，研究城市交通问题能帮助我们深入分析城市交通系统中交通需求与交通供给之间的内在作用规律，探究新的解决途径，为城市交通的良好运作与人们安全出行提供必要的理论保证。

一、交通问题中数学模型的分类1、数学微分模型微分模型也是研究交通问题的一类重要方法，它以微积分学为基础，把车辆看成连续的质点，建立连续的交通流模型。

下面以红绿灯下的交通流模型为例介绍数学微分模型。

各种类型的汽车一辆接着一辆沿着公路飞驰而过，其情景就像湍急的河流中奔腾的流水一样。

在这种情况下，很难分析每辆汽车的运动规律，而是把车辆对看作连续的流体，称为交通流。

研究每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度等变量间的关系。

1.1交通流的基本函数：研究对象是无穷长公路上沿单向流动的一条车流。

假定不允许超车，公路上也没有岔道，即汽车不会从其他通道进入或驶出。

在公路上选定一个坐标原点，记作0x =。

以车流运动方向作为x 轴的正向，于是公路上任一点用坐标x 表示。

对于每一时刻t 和每一点x ，引入3个基本函数：流量(,)q x t 时刻t 单位时间内通过点x 的车辆数；密度(,)x t ρ时刻t 点x 处单位长度内的车辆数；速度(,)u x t 时刻t 通过点x 的车流速度。

将交通流视为一维流体场，这些函数可以类比作流体的流量、密度和速度。

这里的速度(,)u x t =不表示固定的哪一辆汽车的速度。

3个基本函数之间存在着密切关系。

首先可以知道，单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积，即(,)(,)(,)q x t u x t x t ρ= （1）其次，车流速度 (,)u x t =总是随着车流密度(,)x t ρ的增加而减小的。

当一辆汽车前面没有车辆时，它将以最大速度行驶，可以描述为 0ρ=时 u u m = （最大值）；当车队首尾相接造成堵塞时，车辆无法前进，可记为ρρ=m （最大值）时0u =。

如果简化假设u 是ρ的线性函数，则有： (1)u u m mρρ=- （2） 再由(,)(,)(,)q x t u x t x t ρ=可得：(1)q u m mρρρ=- （3） 表明流量随车辆密度的增加先增后减，在2mρρ*=处达到最大值m q 。

其中（2），（3）式是在平衡状态下ρ，u 和q 之间的关系，即假定所有车辆的速度相同，公路上各处的车流密度相同。

m q q 流量q 与密度ρ的关系1.2间断交通流方程当密度函数(,)x t ρ出现间断时，是具有实际意义的也是常见的一种情况。

一连串的间断点(),x t 在Oxt 平面上构成一条孤立的、连续的间断线，记作()s x x t =并假定它是可微的。

在任意时刻t ，()s x x t =在x 轴上是孤立的，取区间[],a b ，使()s a x t b <<。

在[],a b 内交通流方程的积分形式（4）仍然成立。

将[],a b 分为两个区间()),s a x t ⎡⎣和()(,s x t b ⎤⎦，在每个区间内(,)x t ρ是连续、可微的，于是有：()()()()(,)(,)(,)(,)((),)((),)s s s s x t b a x t x t b s ss s a x t d q a t q b t x t dx x t dx dt dx dx dx x t t dx x t t t dt t dt ρρρρρρ-+⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦∂∂=++-∂∂⎰⎰⎰⎰其中()s x t -和()s x t +分别表大于示从小于和()s x t 一侧趋向()s x t 时的极限值。

在这种趋向下(,)x t ρ和(,)q x t 的极限值记作：()()()()()()()(),,,,,,s s s s x t t x t t q q x t t q q x t t ρρρρ--++--++====ρ和q 在间断点s x 处的跳越值记作：[][],q q q ρρρ+-+-=-=-如图所示：当(),()s s a x t b x t -+→→时（11）式中的()s x t a dx tρ∂∂⎰=0，()s b x t dx t ρ∂∂⎰=0。

利用（12），（13）式的记号立即得到[][]s dx q dt ρ= 或者记作：[][]s q dx dt ρ= 这就是间断线()s x x t =应满足的方程，其中[]ρ和[]q 可以用连续交通流方程得到的ρ和q 在间断点处取极限值算出。

O s b (,)x t ρ在()s x t 处间断1.3应用范围：该模型适用于研究一维单车道交通流，即研究对象是无穷长公路上沿单向流动的一条车流，并且前提条件是不允许超车，公路上没有岔道，汽车不会从其他通道进入或驶出。

1.4模型优缺点：该模型按照守恒关系建立微分交通流模型，利用特征线求解，能够合理的解释很多交通流中出现的现象。

同时，该模型利用间断线的研究方法，能够很好的研究解决红绿灯信号以及类似于红绿灯信号模型出现的情况。

2、动力学模型动力学模型是研究现代交通问题的主要方法之一，它主要是以元胞自动机（CA ）为动态模型，建立一种适合普遍的交通问题的数学建模方法。

交通问题中的研究对象如车辆和人都是不连续的，车流运动也有很大的随机性和不确定性，用非线性的离散模型来刻划交通现象，这在交通研究的方法上是一个创新。

模拟的基本思想是将路面格子化，每个格子视为有独立思维的小元胞，若干个小元胞对应一辆或几辆小汽车，把车辆在路面上的运动看成是格子场的演变，元胞可以像小汽车一样通过观察周围环境的变化来决定下一步的运动状态，凡车辆应遵守的交通规则都表述为元胞的演变规则，车辆行驶的加速、减速、惯性、跟驰等均可以通过元胞的速度变化规则来详细刻划，从而把交通流的变化规律转化为元胞的演变规则加以研究。

2.1交通流的流体力学模型交通流的流体力学模型将交通流视为由大量车辆组成的可压缩连续流体介质，力图以车辆的平均密度(,)x t ，平均速度(,)v x t ，交通流量(,)q x t 等宏观量来刻画车辆的平均合作行为。

流体力学模型在推动交通流理论的发展过程汇总，起着非常重要的作用，其中重要的模型有LWR 模型、Payne 模型等。

LWR 模型描述了“交通激波”现象，也就是交通过程只能给形成的车辆密度的不连续性和由此行程的交通阻塞，以及交通阻塞的消散过程。

但是，LWR 模型假设了速度、密度之间始终满则平衡关系，因此该模型不适用于描述本质上处于非平衡态的交通现象，例如存在车辆上下、下砸到的交通，时停时走的“幽灵式”交通阻塞，交通迟滞等。

延续LWR 模型的思想，并考虑交通流速度动态变化，在引用连续性方程的同时，引进动力学方程，Payne 建立了如下两个方程构成的高阶连续模型—Payne 模型：()0t x u ρρ+= （1）[]1()t x x v u uu V u T Tρρρ+=-+- （2） （2）式的右边第一项为期望项，v 为期望指数，反映驾驶员对前方交通状态改变的反应过程；第二项式驰豫项，描述车辆速度在弛豫时间T 内向平衡速度的调整；最优速度函数()V ρ和其他参数一般通过对所考察的道路实测和参数辨识来确定。

模型优缺点：Payne 模型允许速度偏离平衡速度密度关系，较之LWR 模型能更准确地描述实际车流，即可描述诸如交通激波形成以及阻塞消散，又能够分析任意小扰动引起的交通失稳、交通迟滞、时停时走的交通形成现象等等。

2.2交通流的气体动力论模型著名的物理学家Prigogine 和著名的交通流专家Herman 在研究交通流时认为不能忽略车辆的个体行为对交通流的影响，个体行为不同会带来不同的集体运动行为。

如果把每一辆车用一个粒子来表示，那么交通流就被视为由许多相互作用的粒子构成的气体。

借鉴于气体运动的统计物理描述办法，引入粒子分布函数，建立类似的Boltzmann 方程。

通过对Boltzmann 方程逐级求解，就可以得到宏观交通流的连续模型。

最初的Prigogine-Herman 模型得到的很多交通性质与实测结果不相吻合，因此，在此模型的基础上，先后提出了许多改进模型，其中Helbing 模型最为成功。

Helbing 在考虑了车辆的加速和相互作用机制后，将描述车辆运动状态的粒子分布函数f 所遵守的Boltzmann 方程改写为2'''0222()()()(1)(,)[()(,)()(,)]w v w vV v f vf fD f P r t dw w v d w v dw v w d v w t r v v χρτ>>-∂∂∂∂=-++-⨯---∂∂∂∂⎰⎰ 其中v ，w 是两辆车辆的速度，0v 是车辆的期望速度，D 为扩散函数，'P 为超车概率，'χ是与密度ρ有关的因子。