2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
德卧中学高中部数学组
教学分析：
向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算。
教学时从加
法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系。
实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，又有方向。
特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。
共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错。
尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量。
共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系。
教学目标：
1. 通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几
何意义，掌握实数与向量积的运算律。
2. 理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。
3. 通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取的
精神。
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。
重点难点：
教学重点：1.实数与向量积的意义。
2.实数与向量积的运算律。
3．两个向量共线的等价条件及其运用。
教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用 课时安排：1课时
教学方法：启发式教学法 授课类型：新授课 教与学过程：
一．引入
1．复习上节要点
问题： 已知非零向量a ,试作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a
)
=++=a +a +a =3a
=++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a
讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a
|
2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |
2．从而提出课题：实数与向量的积
实数λ与向量a 的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
a
a a a
O A B C a -
a
-a
-a
-N
Q
P
1︒|λa |=|λ||a
|
2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=0
3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a
①
第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa
②
第二分配律：λ(a +b )=λa
+λb ③
结合律的证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则①式成立
如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a
|
|(λμ)a |=|λμ||a |=|λ||μ||a
|
∴|λ(μa )|=|(λμ)a
|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a
同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a
反向。
从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a
≠0
当λ、μ同号时，则λa 和μa
同向，
∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a
| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a
同向
即：|(λ+μ)a |=|λa +μa
|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa
同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa
同向
还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa
| ∴②式成立
第二分配律证明：
如果a
=，b =中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当a
≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时
1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，
作=OA a ，=AB b ， =1OA λa
=11B A λb ， 则=a +b ， =1OB λa
+λb
O
A
B
B 1
A 1
由作法知：∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ，||=λ|11B A | ==|
||
|111AB OA λ∴△OAB ∽△OA 1B 1=|
|1OB λ，∠AOB=∠ A 1OB 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a +b )=λa
+λb 当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa
+λb ∴③式成立
例1计算： （1）a 4)3(⨯-；
（2）a b a b a ---+)(2)(3； （3）)23()32(c b a c b a +---+ [说明]该例由学生阅读。
三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
1． 若有向量a (a ≠)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a
与b 为共线向量
若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b ，同向时b =μa 当a 与b 反向时b =-μa
，从而
得：
定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa
例2如图5—16，已知3=，3=，试判断与是否共线。
[解]∵+=
33+= E
)(3BC AB +=
A C
AC 3= B D
∴与共线。
三、小结：
四、作业： 课本 P90 练习3,4,5 P91 习题4,9
1。