卢湾区2010年初中毕业统一学业模拟考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2010.4考生注意：答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．预计2010年上海世博会的参观人数将达7000万人次，“7000万”用科学 计数法可表示为………………………………………………………（ ） A ．3710⨯； B ．6710⨯； C ．7710⨯； D ．8710⨯． 2．点(1,2)P -关于x 轴对称的点的坐标为………………………………（ ） A ．(1,2)； B ．(1,2)-； C ．(1,2)-； D ．(1,2)--． 3．下列方程中，有两个不相等实数根的是………………………………（ ） A ．2440x x -+= ； B ．2310x x +-=； C ．210x x ++=； D ．2230x x -+=．4．下列运算中，计算结果正确的是………………………………………（ ） A ．3(1)31a a -=-； B ．222()a b a b +=+；C ．632a a a ÷=； D ．326(3)9a a =．5．下列命题中是真命题的是……………………………………………（ ） A ．经过平面内任意三点可作一个圆； B ．相交两圆的公共弦一定垂直于连心线； C ．相等的圆心角所对的弧一定相等； D ．内切两圆的圆心距等于两圆半径的和．6．一个面积为20的矩形，若长与宽分别为y x ，，则y 与x 之间的关系用图像可表示为……………………………………………………………（ ）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）A ．B ．C ．D ． yxOyxOyxOyxO7．12-的倒数是 ▲ ． 8．计算：82-= ▲ ．9．布袋中装有2个红球，3个黄球，4个绿球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是绿球．．的概率是 ▲ ． 10．分解因式：2242x x -+= ▲ ．11．解方程2223311x x x x--=-时，若设21x y x =-，则原方程可化为关于y 的方程是 ▲ ． 12．若函数2()2f x x x =--，则(2)f -= ▲ ．13．若一次函数的图像如图所示，则此一次函数的解析式为 ▲ ． 14．如果将抛物线23y x =-沿y 轴向上平移2个单位后，得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式为 ▲ ．15．如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，且3AD AE =，设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则BE =u u u r ▲ ．（结果用a r 、b r表示）16．如图，在地面上离旗杆底部5米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为60º，若测角仪的高度为AD =1.5米，则旗杆BC 的高为 ▲ 米．（结果保留根号）17．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=º,60B ∠=º，若将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90 º，点A 、B 分别旋转至点A’ 、B’ ， 联结A A’ ，则∠A A’ B’ = ▲ ．18．在⊙O 中，若弦AB 是圆内接正四边形的边，弦AC 是圆内接正六边形的边，则∠BAC = ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）13题图O yx-2 - 415题图ADBCEBCA17题图16题图ABD C解不等式组：3 2(2)7; (1) 331 (2)36.x x x x <-++--≤⎧⎪⎨⎪⎩，并把它的解集表示在数轴上．20．（本题满分10分）解方程：221111x x =+--．21．（本题满分10分）如图，已知OC 是⊙O 的半径，弦AB ＝6，AB ⊥OC ，垂足为M ，且CM ＝2．（1）联结AC ，求∠CAM 的正弦值； （2）求OC 的长．22．（本题满分10分）某中学对九年级准备选考1分钟跳绳的同学进行测试，测试结果如下表： 频数分布表组别 跳绳（次/1分钟） 频数第1组 190~199 5 第2组 180~189 11 第3组 170~179 23 第4组 160~169 33 第5组 150~1598请回答下列问题：（1）此次测试成绩的中位数落在第 ▲ 组中；（2）如果成绩达到或超过180次/分钟的同学可获满分，那么本次测试中获得满分的人数占参加测试人数的 ▲ %；（3）如果该校九年级参加体育测试的总人数为200人，若要绘制一张统计该校各项目选考人数分布的扇形图（如22题图），图中A 所在的扇形表示参加选考1分钟跳绳的人数占测试总人数的百分比，那么该扇形的圆心角应为 ▲ °；（4）如果此次测试的平均成绩为171次/分钟，那么这个成绩是否可用来估计该校九年级学生跳绳的平均水平？为什么？ 23．（本题满分12分）ABOCM 21题图扇形统计图BACD22题图如图，正方形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且BE =CE ，BE 与对角线AC 交于点F ，联结DF ，交EC 于点G ．（1）求证：∠ABF =∠ADF ； （2）求证：DF ⊥EC ．24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++经过点(1,3)A ，(0,1)B ．（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ， ①求△ABC 的面积；②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似， 求满足条件的所有P 点坐标．25．（本题满分14分）数学课上，张老师出示了问题1：（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线——过点O 作OM ⊥BC ，垂足为M 求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD 是正方形，BC =1”改为“四边形ABCD 是平行四边形，BC =3，CD =2，”其余条件不变（如图25-2），请直接写出条件改变后的函数解析式；（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD 是正方形，BC =1”进一步改为：“四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，BC a =，CD b =，AD c =(其中a ，b ，c 为常量)”其余条件不变（如图25-3），请你写出条件再次改变后y 关于x 的函数解析式以及相应的推导过程．12345-1-2-3-4-5-1-2-3-4-512345xy0 GFE BDAC23题图如图25-1，四边形ABCD 是正方形， BC =1，对角线交点记作O ，点E 是边BC 延长线上一点．联结OE 交CD 边于F ，设CE x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域． 24题图F OAD卢湾区2010年初中毕业统一学业模拟考试参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． C ； 2． A ； 3．B ； 4．D ； 5．B ； 6．C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 2-； 8． 2； 9．49； 10．22(1)x -；11． 321y y -=；12． 4； 13．24y x =--； 14．232y x =-+； 15．13a b +r r ； 16．31032+； 17．15o；18． 15o或105o．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：由（1）式化简得3x <，…………………………………………2分由（2）式化简得1x ≥，……………………………………………2分 ∴原不等式组的解集为13x ≤<．…………………………………3分数轴表示：……………………………3分20． 解：两边同时乘以(1)(1)x x +-得2211x x =-++．………………3分整理得 220x x +-=．……………………………………3分 解得 11x =， 22x =-．…………………………………2分 经检验1x =是增根，舍去．∴原方程的解是2x =-． …………2分21． 解：(1)∵OC 是⊙O 的半径，AB ⊥OC ，∴AM 132AB ==． ……………………………………………2分在Rt △AMC 中，CM ＝2，AM 3=，F OBDA CE图25-1F OBA CDE图25-2∴222313AC =+=．……………………………………………2分∴213sin 13CM CAM AM∠==．………………………………………2分（2）联结OA ，设OA =r ，则2OM r =-，由勾股定理得222(2)3r r -+=．……………………………2分 解得134r =． …………………………………………………2分22．（1）4；（2分） （2）20； （2分） （3）144°；（3分） （4）不能，不是随机样本，不具代表性． （3分）23．证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAF=∠DAF ，………………………………2分 又∵AF = AF ，∴△ABF ≌∠ADF ．…………………………2分 ∴∠ABF =∠ADF ．……………………………………………2分 （2）∵BE =CE ，∴∠EBC =∠ECB ．………………………………2分∵∠ABC =∠DCB =90o，∴∠ABC -∠EBC =∠DCB-∠ECB ，即∠ABF =∠DCE ． ∵∠ABF =∠ADF ，∴∠DCE =∠ADF ．………………………1分 ∵∠ADC =90o，∴∠DCE +∠DEC =90o，∴∠ADF +∠DEC =90o，∴∠DGE =90o，……………………2分 ∴DF ⊥EC ． ……………………………………………………1分24．解：（1）将(1,3)A ，(0,1)B ，代入212y x bx c =-++，解得52b =，1c =． …………………………………………………2分∴抛物线的解析式为211225y x x =-++．…………………………………1分∴顶点坐标为(,)53328．………………………………………………………1分 （2）①由对称性得(4,3)C ．…………………………………………………1分∴1231413ABC S =--=g V ．………………………………………………1分②将直线AC 与y 轴交点记作D ， ∵12AD BD BDCD==，∠CDB 为公共角，∴△ABD ∽△BCD ．∴∠ABD =∠BCD ．……………………………………1分 1°当∠PAB =∠ABC 时，PB AB ACBC=，∵22(04)(13)25BC =-+-=，22(01)(13)5AB =-+-=，3AC = ∴32PB =，∴1(0,5)2P ． ……………………………………………………2分 2°当∠PAB =∠BAC 时，PB AB BCAC=，∴5325PB =，∴310PB =，∴2(0,13)3P ．…………………………………2分 综上所述满足条件的P 点有5(0,)2，13(0,)3． ……………………………1分 25．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB =OD ． ∵OM ⊥BC ，∴∠OMB =∠DCB =90o，∴OM ∥DC ． ∴OM 12=DC 12=，CM 12=BC 12=．………………………………………2分∵OM ∥DC ，∴CFCEOMEM=，………………………………………………1分即1122y x x =+，解得21x y x =+．……………………………………………2分定义域为0x >． ………………………………………………………………1分 （2）223xy x =+（0x >）． …………………………………………………2分 （3）AD ∥BC ，BO BC a OD AD c ==，BO aBD a c =+． 过点O 作ON ∥CD ，交BC 于点N ， ∴ON BODCBD =，∴abON a c =+．………………………………………………2分∵ON ∥CD ，CN OD BN BO c a ==，∴CN c BC a c =+，∴acCN a c =+． ………2分 ∵ON ∥CD ，∴CF CE ON EN=，即 y xab ac x a ca c =+++． ∴y 关于x 的函数解析式为()xy x a ab a c c=++（0x >）．…………………2分。