2 圆的对称性一、选择题（共 10 小题）1．（ 2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为 4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点 O 重合，零刻度线在 x 轴上），连接 60°和 120°刻度线的一个端点 P 、Q ，线段 PQ 交 y 轴于点 A ，则点 A 的坐标为（ ）） C ．（ ，0） D ．（1， ）2．已知 ⊙O 中，弦 AB 长为，OD ⊥AB 于点 D ，交劣弧 AB 于点 C ，CD=1 ，则⊙ O 的半径是（）A ．1B ．2C ．3 D ．4 3．下列说法：① 若∠1 与∠2 是同位角，则 ∠1=∠ 2② 等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形④ 等腰梯形是轴对称图形， 但不是中心对称图形⑤ 平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧，其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C．2D ． 34．（2013?邵东县模拟） ⊙O 的半径为 R ，若 ∠AOB= α，则弦 AB 的长为（）A ．B ． 2Rsin αC ．D ． Rsin α5．已知矩形 ABCD 的边 AB=3 ，AD=4 ，如果以点 A 为圆心作 ⊙ A ，使 B ，C ，D 三点中在圆内和在圆外都至少有一 个点，那么 ⊙ A 的半径 r 的取值范围是（ ）A ．3<r <5 B ．3<r ≤4C ．4<r ≤5D ． 无法确定6．已知圆的半径为 5cm ，圆心到弦的距离为 4cm ，那么这条弦长是（ ）A ． 3cmB ．6cmC ．8cmD ． 10cm7．半径为 5 的 ⊙O ，圆心在原点 O ，点 P （﹣ 3， 4）与 ⊙O 的位置关系是（A ．在⊙O 内B ．在 ⊙O 上C ．在⊙ O 外D ．不能确定8．一个点到圆周的最小距离为 4cm ，最大距离为 9cm ，则该圆的半径是（ A ．2.5 cm 或 6.5 cm B ．2.5 cmC ． 6.5 cm)D ． 5 cm 或13cm9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为 1 的⊙ O 中，直径 AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点 C 是上半圆上一个动点（ C 与点 A 、B 不重合），过点 C 作弦 CD ⊥ AB ，垂足为 E ，∠OCD 的平分线交 ⊙O 于点 P ，设 CE=x ，二、填空题（共 10 小题）（除非特别说明，请填准确值）11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可 以得到一个圆？12 ．一条弦 AB 分圆的直径为 3cm 和 7cm 两部分，弦和直径相交成 60°角，则 AB= ____________ cm ． 13．若⊙O 的半径为 13cm ，圆心 O 到弦 AB 的距离为 5cm ，则弦 AB 的长为 ____________ cm ．14．已知点 P 是半径为 5 的⊙O 内一定点，且 PO=4，则过点 P 的所有弦中， 弦长可取到的整数值共有的条数是15．若⊙ A 的半径为 5，圆心 A 的坐标为（ 3，4），点 P 的坐标是（ 5， 8），则点 P 在⊙A _______ 16 ．在下图所列的图形中选出轴对称图形： ___________ ．10．（2013?合肥模拟） 如图， 是半径为 1 的圆弧， △ AOC 为等边三角形， D 是 上的一动点， 则四边形 AODCC ．≤s ≤D ． <s <AP=y ，下列图象中，最能刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（） D．AB 的两个端点 A 和 B ，这些圆的圆心所组成的图形是 18 ．以已知点 O 为圆心，可以画 个圆．19．如图， AB 为⊙O 的直径， AD ∥OC ，∠AOD=84 °，则 ∠BOC= __________22．如图， AB 是⊙O 的直径， CD 是弦， CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交 AB 于F ，求证： AE=BF．17．作圆，使这些圆都经过线段20．如图， ⊙O 的弦 AB 、半径 OC 延长交于点 D ，BD=OA ，若∠ AOC=105 °，则∠ D=________ 度．三、解答题（共 10 小题）（选答题，不自动判卷）OA=OB ．23．如图， ⊙O 中，AB 是直径，半径 CO ⊥AB ，D 是 CO 的中点， DE ∥AB ，求证：=2 ．26．如图， ⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE=1cm ，EB=5cm ，∠DEB=60 °， （ 1）求 CD 的长；（2）若直线 CD 绕点 E 顺时针旋转 15°，交⊙O 于 C 、D ，直接写出弦 CD 的长．27．已知：如图，在 ⊙O 中， ∠ A= ∠ C ，求证： AB=CD（利用三角函数证明）24．已知 ⊙ O 的半径为 12cm ，弦 AB=16cm ．（1）求圆心 O 到弦 AB 的距离；（ 2）如果弦 AB 的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB 的中点形成什么样的图形？25．如图， △ABC 的三个顶点在 ⊙0上，AD ⊥BC ，D 为垂足， E 是 的中点，求证： ∠OAE= ∠EAD ．（写出两种以上的证明方法）28．如图， CD 是⊙O 的直径，弦 AB ⊥CD 于点 H ，若 ∠D=30°，CH=1cm ，求弦 AB 的长．29．已知： 等腰 △ ABC 内接于半径为 6cm 的 ⊙O ，AB=AC ，点 O 到 BC 的距离 OD 的长等于 2cm ．求 AB 的长．参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题）1．（ 2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为 4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点 O 重合，零刻度线在 x 轴上），连接 60°和120°刻度线的一个端点 P 、Q ，线段 PQ 交 y 轴 于点 A ，则点A 的坐标为（ ）A ．（﹣1， ）B ．（0， ）C ．（ ，0）D ．（1， ）考点： 圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形．分析： 连接 OQ 、OP ，求出 ∠ POQ 的度数，得出等边三角形 POQ ，得出 PQ=OQ=OP=2 ，∠OPQ=∠OQP=60°， 求出 ∠AOQ 度数，根据三角形的内角和定理求出 ∠QAO ，求出 AQ 、OA ，即可得出答案．∠ A= ∠ B=60 °，求 BC 的长．解：连接 OQ 、 PO ，则∠ POQ=120°﹣60°=60， ∵PO=OQ ， ∴△POQ 是等边三角形，∴ PQ=OP=OQ= ×4cm=2cm ， ∠ OPQ=∠ OQP=60 °， ∵ ∠ AOQ=90 °﹣60°=30°， ∴ ∠ QAO=180 °﹣60°﹣30°=90°， ∴ AQ= OQ=2cm ，∵ 在 Rt △AOQ 中，由勾股定理得： OA= =， ∴ A 的坐标是（ 0， ）， 故选 B ．点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判 定等知识点， 解此题的关键是构造三角形后求出 OA 的长， 主要考查学生分析问题和解决问题的能 力．2．已知⊙O 中，弦 AB 长为 ，OD ⊥AB 于点 D ，交劣弧 AB 于点 C ，CD=1 ，则⊙ O 的半径是（）A ．1B ．2C ．3D ．4考点： 垂径定理；勾股定理．分析： 连接 OA ，根据垂径定理求出 AD ，设⊙O 的半径是 R ，则 OA=R ，OD=R ﹣1，在 Rt △OAD 中，由 勾股定理得出方程 R 2=（R ﹣1）2+（ ）2，求出 R 即可．∵OC 是半径， OC ⊥AB ，设⊙O 的半径是 R ，则 OA=R ，OD=R ﹣1，在 Rt △OAD 中，由勾股定理得： OA 2=OD 2+AD 2， 即 R 2=（ R ﹣ 1） 2+（ ） 2，R=2，故选 B ．解答：，根据 sin ∠ AOC= 求出 AC=Rsin ，即可求出AB ．点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想．3．下列说法：① 若∠1 与∠2 是同位角，则 ∠1=∠2 ② 等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 ③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ④ 等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形 ⑤ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3考点： 垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质． 分析： 根据只有在平行线中，同位角才相等，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互 相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心 对称图形，即可判断 ①②③④ ；画出反例图形即可判断 ⑤ ． 解答： 解： ∵ 只有在平行线中，同位角才相等， ∴ ① 错误；∵ 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合， ∴ ② 错误；∵ 对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形， ∴③ 错误； ∵ 等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴ ④ 正确；AB 是⊙ O 直径， CD 是⊙O 弦， AB 平分 CD ，但 AB 和 CD 不垂直， ∴ ⑤ 错误； 故选 B ．点评： 本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应 用，主要考查学生的辨析能力．解：过 O 作 OC ⊥ AB 于 C ， 则由垂径定理得： AB=2AC=2BC ， ∵ OA=OB ， ∴ ∠ AOC= ∠BOC= ∠AOB=A ．B ． 2Rsin αC ．C ．)D ．Rsin α考点： 分析： 垂径定理；解直角三角形．过 O 作 OC ⊥ AB 于 C ，由垂径定理得出AB=2AC ，根据等腰三角形性质求出4．（2013?邵东县模拟） ⊙O 的半径为 R ，若∠AOB= α，则弦 AB 的长为（在△AOC 中，sin∠AOC= ，∴ AC=Rsin∴AB=2AC=2Rsin 故选A ．点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点，关键是求出AC 的长和得出AB=2AC ．5．已知矩形ABCD 的边AB=3 ，AD=4 ，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D 三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙ A 的半径r 的取值范围是（）A ．3<r<5B ．3< r≤4 C．4<r≤5 D．无法确定考点：点与圆的位置关系．分析：四边形ABCD 是矩形，则△ABC 是直角三角形．根据勾股定理得到：AC=5，B，C，D 三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，由题意可知一定是B 在圆内，则半径r> 3，一定是点C 在圆外，则半径r< 5，所以3< r<5．解答：解：∵AB=3 ，AD=4 ，∴AC=5 ，∴点C一定在圆外，点B 一定在圆内，∴⊙ A 的半径r 的取值范围是：3<r<5．故选A ．点评：本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较大小，判定点和圆的位置关系．6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（）A ．3cmB ．6cm C．8cm D．10cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：连接OA ，根据垂径定理求出AC=BC ，根据勾股定理求出AC 即可．解答：解：连接OA ，∵OC⊥ AB ，OC 过圆心O，∴ AC=BC ，由勾股定理得：AC= = =3（cm），∴ AB=2AC=6 （cm ）．故选B ．的关键．7．半径为 5的⊙O ，圆心在原点 O ，点 P （﹣ 3，4）与⊙O 的位置关系是（ ）考点： 点与圆的位置关系；勾股定理． 专题： 计算题．分析： 连接 OP ，根据勾股定理求出 OP ，把 OP 和圆的半径比较即可． 解答： 解：连接 OP ．∵P （﹣3，4）， 由勾股定理得： OP==5，∵ 圆的半径 5， ∴P 在圆 O 上． 故选 B ．点评： 本题主要考查对勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能求出 线与圆的位置关系性质进行判断是解此题的关键．8．一个点到圆周的最小距离为 4cm ，最大距离为 9cm ，则该圆的半径是（ ） A ．2.5 cm 或 6.5 cm B ．2.5 cm C ． 6.5 cmD ．5 cm 或 13cm考点 ： 点与圆的位置关系．分析： 点 P 应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论． 当点 P 在圆内时， 点到圆的最大距离与最小距离 的和是直径；当点 P 在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．解答： 解：当点 P 在圆内时，最近点的距离为 4cm ，最远点的距离为 9cm ，则直径是 13cm ，因而半径是 6.5cm ；当点 P 在圆外时， 最近点的距离为 4cm ，最远点的距离为 9cm ，则直径是 5cm ，因而半径是 2.5cm ． 故选 A ．点评： 本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点评： 本题主要考查对勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能求出AC=BC 和 AC 的长是解此题A ．在⊙O 内B ．在⊙O 上C ． 在⊙O 外D ．不能确定OP 长和能根据直9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB 把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C 与点A、B 不重合），过点C 作弦CD⊥ AB ，垂足为E，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P，设CE=x ，AP=y ，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）考点：动点问题的函数图象；垂径定理．专题：压轴题；动点型．分析：连接OP，根据条件可判断出PO⊥ AB ，即AP 是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE 的长度是小于1 而大于0 的．解答：解：连接OP，∵OC=OP，∴∠ OCP=∠ OPC．∵∠ OCP=∠ DCP ，CD ⊥ AB ，∴∠ OPC=∠ DCP．∴OP∥CD．∴PO⊥AB．∵ OA=OP=1 ，∴ AP=y= （0<x<1）．故选A ．点评：解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．10．（2013?合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC 为等边三角形，D 是上的一动点，则四边考点：等边三角形的性质；垂径定理． 专题 ： 压轴题；动点型． 分析：根据题意，得四边形 AODC 的最小面积即是三角形 AOC 的面积，最大面积即是当 OD ⊥OC 时四 边形的面积． 要求三角形 AOC 的面积，作 CD ⊥ AO 于 D ．根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得CD= ，得其面积是 ；要求最大面积，只需再进一步求得三角形 DOC 的面积，即是 ，则最大 面积是 ．解答： 解：根据题意，得四边形 AODC 的面积最小即是三角形 AOC 的面积，最大面积即是当 OD ⊥OC 时四边形的面积．作 CH ⊥AO 于 H ，∵△ AOC 为等边三角形 ∴CH= ∴ S △AOC = ；当 OD ⊥OC 时面积最大，∴ S △OCD = ，则最大面积是 △OCD ∴四边形 AODC 的面积 s 的取值范围是<s ≤点评： 此题首先要能够正确分析出要求的四边形的最小面积和最大面积，三角形的面积公式进行计算．二、填空题（共 10 小题）（除非特别说明，请填准确值）11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎 样可以得到一个圆？考点： 圆的认识．分析： 根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合可以得到答案．解答： 解：可让牛牛站在原地旋转，壮壮拉直牛牛的手臂，绕牛牛走一圈，用脚在沙滩上画出一条曲线， 就是一个圆． 点评： 本题考查了圆的认识，了解圆的定义是解决本题的关键．12．一条弦 AB 分圆的直径为 3cm 和 7cm 两部分，弦和直径相交成 60°角，则 AB= 2cm ．考点： 垂径定理．分析： 根据题意画出图形，作弦的弦心距，根据题意可知，半径 OA=5cm ，ND=3cm ，ON=2cm ，利用勾股定理易求得 NM=1cm ，OM= cm ，进一步可求出 AM ，进而求出 AB ．解答： 解：根据题意画出图形，如图示，==A ．≤s ≤B ．< s ≤C ．≤s ≤然后根据等边三角形的性质以及作OM⊥AB 于M，连接OA ，∴ AM=BM ，CD=10cm ，ND=3cm ，∴ ON=2cm ，∵ ∠ ONM=60 °，OM ⊥AB ，∴ MN=1cm ，∴ OM= ，在Rt△OMA 中，AM= = = ，∴ AB=2AM=2 ．点评：本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，设法确定其中两边，进而利用勾股定理确定第三边．13．若⊙O 的半径为13cm，圆心O 到弦AB 的距离为5cm ，则弦AB 的长为24 cm．考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：在△ OBD 中，利用勾股定理即可求得BD 的长，然后根据垂径定理可得：AB=2BD ，即可求解．解答：解：连接OB ，∵在Rt△ODB 中，OD=4cm ，OB=5cm ．由勾股定理得：BD 2=OB 2﹣OD2=132﹣52=144，∴ BD=12 ，又OD⊥AB ，∴ AB=2BD=2 ×12=24cm ．点评：本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形．14．已知点P是半径为5的⊙O 内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是8 条．考点：垂径定理；勾股定理．专题：推理填空题．分析：求出最长弦（直径）和最短弦（垂直于OP 的弦），再求出之间的数，得出符合条件的弦，相加即可求出答案．解答：解：过P点最长的弦是直径，等于10，最短的弦是垂直于PO 的弦，根据勾股定理和垂径定理求出是6，10和6 之间有7，8，9，每个都有两条弦，关于OP对称，共6 条，1+1+6=8 ，故答案为：8 条．点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题是一道比较容易出错的题目，考虑一定要全面，争取做到不重不漏．15．若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A 内部考点：点与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A 的半径求得点与圆的位置关系．解答：解：∵A 的坐标为（3，4），点P 的坐标是（5，8），∴ AP= =2∵⊙ A 的半径为5，∴5>2∴点P 在⊙A 的内部故答案为：内部．点评：本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离．16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：②③④⑥考点：圆的认识；轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形进行判断．解答：解：①⑤ 都不是轴对称图形，②③④⑥ 是轴对称图形，故答案为：②③④⑥ ．点评：本题主要考查轴对称的知识点，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．17．作圆，使这些圆都经过线段AB 的两个端点A 和B ，这些圆的圆心所组成的图形是线段AB 的垂直平分线．考点：圆的认识；线段垂直平分线的性质．分析：利用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到A、B 两点的距离相等，从而得到结论．解答：解：∵ 圆上的所有点到圆心的距离相等，∴ 无论圆心O 在哪里，总有OA=OB ，即：所有圆心到A 、B 两点的距离相等，∵到A 、B 两点的距离相等的点在线段AB 的垂直平分线上，故答案为：线段AB 的垂直平分线．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．18．以已知点O 为圆心，可以画无数个圆．考点：圆的认识．分析：圆心固定，半径不确定，可以画出无数个圆，由此选择答案解决问题．解答：解：以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆，故答案为：无数．点评：此题考查：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小这一知识．AD ∥OC，∠AOD=84 °，则∠BOC= 48°19．如图，AB 为⊙O 的直径，考点：圆的认识；平行线的性质．分析：根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠ D=∠ A，利用三角形内角和定理可计算出∠A ，然后根据平行线的性质即可得到∠ BOC 的度数．解答：解：∵ OD=OC ，∴∠ D=∠A，∵ ∠ AOD=84 °，∴∠ A= （180°﹣84°）=48°，又∵ AD ∥OC，∴∠ BOC= ∠ A=48 °．故答案为：48°．点评： 本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．考点 ： 圆的认识；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析： 解答此题要作辅助线 OB ，根据 OA=OB=BD= 半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内 角的关系解决．解答： 解：连接 OB ，∵ BD=OA ， OA=OB所以 △ AOB 和△BOD 为等腰三角形， 设∠D=x 度，则∠ OBA=2x °， 因为 OB=OA ， 所以 ∠A=2x °， 在△AOB 中， 2x+2x+（105﹣x ）=180， 解得 x=25 ， 即∠ D=25°．点评： 此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．三、解答题（共 10 小题）（选答题，不自动判卷）OA=OB ．考点：垂径定理；线段垂直平分线的性质． 专题 ： 证明题．分析：过 O 作 OE ⊥AB 于 E ，根据垂径定理求出 CE=DE ，求出 AE=BE ，根据线段的垂直平分线定理求出 即可．解答： 证明：过 O 作 OE ⊥ AB 于 E ，∵ OE 过圆心 O ， ∴ CE=DE ，∵ AC=BD ，半径 OC 延长交于点 D ， BD=OA ，若 ∠AOC=105 °，则∠ D= 25 度．D ，且 AC=BD ．请证明：∴ AE=BE ，∵OE⊥AB，点评：本题考查了线段的垂直平分线定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．22．如图，AB 是⊙ O的直径，CD 是弦，CE⊥CD 交AB于E，DF⊥CD 交AB 于F，求证：AE=BF ．考点：垂径定理．专题：证明题．分析：过O 作OG⊥CD ，由垂径定理可知OG 垂直平分CD ，再由平行线分线段成比例定理即可求解．解答：证明：过O 作OG⊥ CD，由垂径定理可知OG 垂直平分CD，则CG=DG ，∵CE⊥CD，DF⊥CD，OG⊥CD，∴CE∥OG∥DF，∵CG=DG ，∴ OE=OF ，∵ OA=OB ，∴ AE=BF ．点评：本题综合考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出平行线，再利用平行线的性质解答．23．如图，⊙O中，AB 是直径，半径CO⊥AB，D 是CO的中点，DE ∥ AB ，求证：=2 ．考点：圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形．专题：证明题．分析：连接OE，推出DE⊥OC，求出∠ EDO=90 °，根据OD= OC= OE，求出∠DEO=30 °，求出∠EOC，根据OC ⊥AB ，求出∠AOC=90 °，求出∠AOE=30 °，即可求出答案．解答：证明：连接OE，∵AB ⊥ OC ，DE∥ AB ，∴DE⊥OC，∴∠ EDO=90 °，∵ D 为OC 中点，∴ OD= OC= OE，∴∠ DEO=30 °，∴∠ EOC=90°﹣30°=60°，∵OC⊥AB，∴ ∠ AOC=90 °，∴ ∠ AOE=90 °﹣60°=30°，即∠ AOE=30 °，∠ COE=60 °，∴ =2 （圆心角的度数等于它所对的弧的度数）点评：本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30 度角的直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性比较强．24．已知⊙O 的半径为12cm，弦AB=16cm ．（1）求圆心O 到弦AB 的距离；（2）如果弦AB 的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB 的中点形成什么样的图形？考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连接OB，过O作OC⊥AB 于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB 的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC 即可；（2）弦AB 的中点形成一个以O 为圆心，以4 cm 为半径的圆周．解答：（1）解：连接OB，过O作OC⊥AB 于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB 的距离，∵OC⊥ AB ，OC 过圆心O，∴ AC=BC= AB=8cm ，在Rt△ OCB 中，由勾股定理得：OC= = =4 （cm），答：圆心O 到弦AB 的距离是4 cm．（2）解：如果弦AB 的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB 的中点到圆心O 的距离都是4 cm，∴ 如果弦AB 的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB 的中点形成一个以O 为圆心，以4 cm 为半径的圆周．点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．25．如图，△ABC 的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D 为垂足，E是的中点，求证：∠OAE= ∠EAD ．（写出两种以上的证明方法）考点：圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：方法一：连接OB ，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题．方法二：连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD ，然后即可证明．解答：证明：( 1)连接OB，则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA ，∵AD ⊥BC，∴ ∠ OAB= (180°﹣∠AOB )，=90°﹣∠ AOB=90 °﹣∠ACB=∠DAC，∵ E 是弧BC 的中点，∴ ∠ EAB= ∠EAC，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB= ∠EAC﹣∠DAC= ∠EAD．2）连接OE，∵ E 是的中点，∴弧BE= 弧EC，∴OE⊥BC，∵AD ⊥BC，∴OE∥AD，∴ ∠ OEA= ∠EAD，∵ OE=OA ，∴ ∠ OAE= ∠OEA，∴∠ OAE= ∠EAD．点评：此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线，方法一：连接OB ，方法二：连接OE，属于中档题．26．如图，⊙O的直径AB 和弦CD 相交于点E，已知AE=1cm ，EB=5cm ，∠ DEB=60 °，（1）求CD 的长；（2）若直线CD 绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD 的长．垂径定理；勾股定理．（1）作OH ⊥CD 于H ，连接 OD ，求出AB=6cm ，半径 OD=3cm ，在Rt △OHE 中，OE=2cm ，∠OEH=60°， 由勾股定理求出 OH= cm ，在 Rt △ OHD 中，由勾股定理得求出 HD= cm ，由垂径定理得出 DC=2DH ，代入即可；（2）求出 OE ，∠ OEH=45 °，根据勾股定理求出 OH ，在 Rt △OHD 中，由勾股定理得求出 HD ，由作 OH ⊥CD 于 H ，连接 OD ，∵ AE=1cm ， BE=5cm ， E 在直径 AB 上， ∴ AB=1cm+5cm=6cm ，半径 OD=3cm ，∵在 Rt △OHE 中，OE=3cm ﹣1cm=2cm ，∠OEH=60 °， ∴ OH= cm ，在 Rt △ OHD 中，由勾股定理得： HD= cm ， ∵OH ⊥CD ， ∴ 由垂径定理得： DC=2DH=2 （2）作 OH ⊥CD 于 H ，连接 OD ， ∵ AE=1cm ， BE=5cm ， E 在直径 AB 上， ∴ AB=1cm+5cm=cm6 ，半径 OD=3cm ， ∵若直线 CD 绕点 E 顺时针旋转 15°， ∴∠ OEH=60 ° 在 Rt △ OHE 中， ∴OH= cm ，考点： 分析：cm ；﹣15°=45°，OE=3cm ﹣ 1cm=2cm， ∠ OEH=45 °，点评：在 Rt △ OHD 中， 由勾股定理得： HD== （ cm ），∵OH ⊥CD ， ∴由垂径定理得： 即 CD=2 cm ．本题考查了垂径定理，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质等知识点的 应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． DC=2DH=2 cm ； ⊙O 中，∠A=∠C ，求证： AB=CD （利用三角函数证明）解答：21考点： 垂径定理；解直角三角形．专题： 证明题．作 OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，设⊙ O 半径为 R ，根据 sinA= ，、inC= 和∠A=∠C 求出 OE=OF ， 由勾股定理求出 AE=CF ，由垂径定理得出 DC=2DF ，AB=2AE ，即可求出答案．设⊙O 半径为 R ， sinA= ，sinC= ，∴ OE=RsinA ， OF=RsinC ，∵∠ A=∠C ，∴ sinA=sinC ，∴ OE=OF ， 由勾股定理得： CF 2=OC 2﹣OF 2，AE 2=OA 2﹣OE 2，∴AE=CF ，由垂径定理得： DC=2DF ， AB=2AE ，∴ AB=CD ．本题考查了勾股定理， 垂径定理， 解直角三角形等知识点， 主要培养学生运用定理进行推理的能力．28．如图， CD 是⊙ O 的直径，弦 AB ⊥CD 于点 H ，若∠ D=30 °， CH=1cm ，求弦 AB 的长．考点： 垂径定理；含 30度角的直角三角形；勾股定理．分析： 连接 OA ，根据等腰三角形性质求出 ∠D= ∠OAD=30 °，求出 ∠AOH=60 °，根据垂径定理求出AB=2AH=2BH ，求出 ∠HAO=30 °，推出 AO=2OH=C0 ，求出 OH=CH=1cm中， 连接 OA ， ∵ OA=OD ，∴∠ D=∠OAD=30 °，∴ ∠ AOH=30 °+30°=60°，∵AB ⊥DH ，分析： 解答：点评：，AO=2cm ，在 Rt △ AHO由勾股定理求出 AH 即可．解答： 证明：作解：∴ ∠ AHO=90 °，AB=2AH=2BH ，∴ ∠ HAO=30 °，∴ AO=2OH=C0 ，∴ OH=CH=1cm ，∴ AO=2cm ，在Rt△ AHO 中，由勾股定理得：AH= = cm，∴ AB=2 cm．点评：本题考查了三角形的内角和定理，含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算和推理的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．29．已知：等腰△ABC 内接于半径为6cm 的⊙ O，AB=AC ，点O 到BC 的距离OD 的长等于2cm．求AB 的长．考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：① 连接AD 、OB，根据三线合一得出AO 过D，在Rt△OBD 中，根据勾股定理求出BD ，在Rt△ADB 中，根据勾股定理求出AB 即可．② 求出BD、AD ，根据勾股定理求出AB 即可．解答：解：① 如图，连接AD ，连接OB ，∵△ ABC 是等腰三角形，∴根据等腰三角形的性质（三线合一定理）得出，AO ⊥BC，AO 平分BC，∵OD⊥BC，∴根据垂直定理得：OD 平分BC ，即A 、O、D 三点共线，∴AO 过D ，∵等腰△ABC 内接于半径为6cm 的⊙O，∴ OA=6cm ，BD=DC ，AD ⊥ BC ，在Rt△ OBD 中，由勾股定理得：BD= = =4 （cm），在Rt△ ADB 中，由勾股定理得：AB= = =4 （cm），② 如图：同法求出BD=4 cm，AD=6cm ﹣2cm=4cm ，由勾股定理得：AB= = =4 （cm），答：AB 的长是4 cm 或4 cm．2223本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后求出BD 的长，题目具有一定的代表性，难度也适中，是一道比较好的题目．注意：分类讨论．垂径定理；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形． 计算题．延长 AO 交 BC 于 D ，过 O 作 OE ⊥BC 于 E ，根据垂径定理求出 BC=2BE ，根据等边三角形的性质 和判定求出 AD=BD=AB=12 ，求出 OD 的长，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 DE 即可延长 AO 交 BC 于 D ，过 O 作 OE ⊥BC 于 E ，∵ OE 过圆心 O ，OE ⊥ BC ，∴BC=2CE=2BE （垂径定理） ，∵∠ A= ∠ B=60 °，∴ DA=DB ，∴△ DAB 是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形） ， ∴AD=BD=AB=12 ， ∠ ADB=60 °，∴OD=AD ﹣ OA=12 ﹣7=5，∵∠ OED=90 °，∠ ODE=60 °，∴∠ DOE=30 °，∴ BC=2BE=19 （根据垂径定理已推出，在第三行） 本题考查了垂径定理，等边三角形的性质和判定，含 和掌握，关键是正确作辅助线后求出 BE 的长，题目比较典型，难度适中． == ∴ BE=12﹣ 点评： 考点： 专题 ：分析： 解答：30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半） ， 点评： 30 度角的直角三角形的性质等知识点的理解∠A= ∠B=60 °，求 BC 的长．∴DE=（在直角三角形中，如果有一个角是。