19、某中学为了了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了部分学生一周参加体育锻炼的时间，得到如图的条形统计图，根据图形解答下列问题： （1）这次抽查了 名学生； （2）所抽查的学生一周平均参加体育锻炼多少小时？ （3）已知该校有1200名学生，估计该校有多少名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时？20、（2011•湛江）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A ，D 作⊙O ，使圆心O 在AB 上，⊙O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与⊙O 相切；（2）若AD ：AE=4：5，BC=6，求⊙O 的直径．A 种产品B 种产品 成本（万元∕件） 3 5 利润（万元∕件）12（1）若工厂计划获利14万元，问A ，B 两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）条件下，哪种方案获利最大？并求最大利润．22．已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系； 点P 是OA 边上的动点（与点O A 、不重合），现将POC △沿PC 翻折得到PEC △，再在AB 边上选取适当的点 D,将PAD △沿PD 翻折，得到PFD △，使得直线PE PF 、重合． （1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P C D 、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP x AD y ==，，当x 为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P C D 、、三点的抛物线上是否存在点Q ，使PDQ △是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标23、如图，抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．C y EBFDA PxO 图①A BD F ECO P xy图②第22题图参考答案：19.解答：解：（1）15+10+15+20=60．故答案是：60；（2）=6.25小时．答：所抽查的学生一周平均参加体育锻炼6.25小时．（3）1200×=700人．答：估计该校有700名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时．20.解答：解：（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，∴BD⊥OD，∴BD是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C，∴DE∥BC，又∵D是AC中点，∴AD=CD，∴AD：CD=AE：BE，∴AE=BE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AE=AC：AB，∴AC：AB=4：5，设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，∴BC：AB=3：5，∵BC=6，∴AB=10，∴AE=AB=10．21.解答：解：（1）设A种产品x件，B种为（10﹣x）件，x+2（10﹣x）=14，x=6，A生产6件，B生产4件；（2）设A种产品x件，B种为（10﹣x）件，，3≤x＜6．方案一：A 3件B生产7件．方案二：A生产4件，B生产6件．方案三：A生产5件，B生产5件；（3）第一种方案获利最大，3×1+7×2=17．最大利润是17万元．22.解：（1）由题意知，POC PAD△、△均为等腰直角三角形，可得(30)(03)(41)P C D，、，、，···········································································2分设过此三点的抛物线为2(0)y ax bx c a=++≠，则39301641ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩12523abc⎧=⎪⎪⎪=-∴⎨⎪⎪⎪=⎩∴过P C D、、三点的抛物线的函数关系式为215322y x x=-+ ······························4分（2）由已知PC平分OPE PD∠，平分APF∠，且PE PF、重合，则90CPD∠=°90OPC APD∴∠+∠=°，又90APD ADP∠+∠=°OPC ADP∴∠=∠．Rt RtPOC DAP∴△∽△．OP OCAD AP∴=，即34xy x=-·········································································· 6分CyE BF DAP xO图①ABDFECO P xy图②第28题图2211414(4)(2)(04)33333y x x x x x x =-=-+=--+<<Q∴当2x =时，y 有最大值43． ······································································· 8分（3）假设存在，分两种情况讨论：①当90DPQ ∠=°时，由题意可知90DPC ∠=°，且点C 在抛物线上，故点C 与点Q 重合，所求的点Q 为（0，3） ················································································································ 9分②当90DPQ ∠=°时，过点D 作平行于PC 的直线DQ ，假设直线DQ 交抛物线于另一点Q ，Q 点(30)03P C ，、(，)，∴直线PC 的方程为3y x =-+，将直线PC 向上平移2个单位与直线DQ 重合，∴直线DQ的方程为5y x =-+ ··························································································10分由2515322y x y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得16x y =-⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩ 又点(41)(16)D Q ∴-，，，．故该抛物线上存在两点(03)(16)Q -，、，满足条件． ················································ 12分说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分． ．23.解答：解：（1）由题意得，解得：b=2，c=﹣3，则解析式为：y=x 2+2x ﹣3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x 2+2x ﹣3， 解得x=1或x=﹣3， 由题意点A （﹣3，0）， ∴AC=，CD=，AD=，由AC 2+CD 2=AD 2，所以△ACD 为直角三角形；（3）由（2）知ME 取最大值时ME=，E （，﹣），M （，﹣），∴MF=，BF=OB ﹣OF=．设在抛物线x 轴下方存在点P ，使以P 、M 、F 、B 为顶点的四边形是平行四边形，则BP ∥MF ，BF ∥PM ．∴P 1（0，﹣）或P 2（3，﹣），当P 1（0，﹣）时，由（1）知y=x 2﹣2x ﹣3=﹣3≠﹣，∴P 1不在抛物线上．当P 2（3，﹣）时，由（1）知y=x 2﹣2x ﹣3=0≠﹣，∴P 2不在抛物线上．综上所述：抛物线x 轴下方不存在点P ，使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．yxA BEC Q O P DF（Q ）第22题图。