完全平方公式和平方差公式的应用完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的。
公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x2-12、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、（100-13）×（99-23）7、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的 . 。
公式结构特点：左边： 右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2=一、计算下列各题：1、2)(y x +2、2)23(y x -3、2)21(b a +4、2)12(--t5、2)313(c ab +- 6、2)2332(y x + 7、2)121(-x 8、(0.02x+0.1y)2二、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972三、计算：（1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +-（3）()()2()x y x y x y --+- 四、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy（3）)4)(12(3)32(2+--+a a a五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x（3）)3)(3(+---b a b a （4）()()2323x y z x y z +-++六、拓展延伸 巩固提高1、若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。
2、 若k x x ++22是完全平方式，求k 值。
3、已知13a a +=，求221a a +的值巧用平方差公式解题平方差公式 22))((b a b a b a -=-+ 用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。
在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下参考：例1、计算：22)111049()11150(- 解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将a 看作11150，将b 看作111049，逆用平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍22)111049()11150(-=11200112100)11104911150)(11104911150(=⨯=-+ 例2、计算：1.1009.991002⨯-解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将1.1009.99⨯变形为)1.0100)(1.0100(+-，再运用平方差公式，则问题迅速获解1.1009.991002⨯-=01.0)1.0100(100)1.0100)(1.0100(1002222=--=+--例3、计算：2200720052006222-+ 解析：直接计算，数值较大，可先将分母22007200522-+变形为)12007()12005(22-+-，再逆用平方差公式，则问题迅捷可解原式=)12007)(12007()12005)(12005(2006)12007()12005(20062222-++-+=-+-212006200622006)20082004(2006200620082006200420062006222=⨯⨯=+⨯=⨯+⨯例4、计算：)1011()411)(311)(211(2222---- 解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解原式=)1011)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(211(+-+-+-+-=20111011211011109454334322321=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 例5、试确定1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++的未位数解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为（3-1）再连续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。
原式=1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(643216842++++++++- =1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(6432168422+++++++- =1)13)(13)(13)(13)(13)(13(643216844++++++-=1)13)(13(6464++-= =3232412812881)3(3113===+- 因为未位数是1的任何次幂的未位数还是1所以1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++未位数是1计算：（1）、1.109.9⨯ （2）、2007200520062⨯- （3）、229.91.10-（4）、试确定1)12)(12)(12)(12)(12)(12)(12(643216842++++++++的未位数 完全平方公式的变形和应用一、 完全平方公式常见的变式（1）ab b a b a 4)()(22+-=+ （2）ab b a b a 2)(222 ±=+（3）)(2)()(2222b a b a b a +=-++ （4）)()(2222b a b a ab +-+=（5）2)1(1222-+=+a a a a 二、完全平方公式变形的应用 例1 已知216,8c ab ba +==+，求2008)(cb a +-的值。
解：由变式（1）得：222224)16(484)()(c c ab b a b a -=+-=-+=-所以04)(22=+-c b a 所以0,0==-c b a所以0)(2008=+-c b a 例2 已知2222,3)(,7)(y x y x y x +=-=+求的值。
解：由变式（3）得： 52372)()(2222=+=-++=+y x y x y x 例3 已知,2,122=+=+y x y x 求44y x +的值。
解：由变式（4）得：)()(2222y x y x xy +-+= 212-=1-= 所以21-=xy 再由变式（2）得：22222442)(y x y x y x -+=+ 22)21(22-⨯-= 214-= 27= 例4 已知0132=++x x ，求441xx +的值。
解：由题意知0≠x在0132=++x x 的两边都乘以x1得： 31-=+x x 由变式（5）得： 72)3(2)1(12222=--=-+=+x x xx 47272)1(1222244=-=-+=+x x x x例1 若,x y 为有理数，且满足22312120xy y +-+=，求x y 的值． 分析：欲求x y 的值，须求出,x y 的值．由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的．解：22312120x y y +-+=，223(44)0x y y +-+=，223(2)0x y +-=，∵220,(2)0xy -≥≥，∴220,(2)0x y =-=，即0,2x y ==， ∴x y =20=1．例2 已知2,5a b b c -=--=，求222a b c ab bc ac ++---的值．分析：显然，本题若按一般方法，即先求出,,a b c 的值，再代入多项式求值，将十分困难．而我们发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式．因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解．解：∵ 2,5a b b c -=--=，∴3a c -=，∴222ab c ab bc ac ++---=2221(222222)2a b c ab bc ac ++--- =()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦ =()22212532⎡⎤-++⎣⎦=19． 例3 试说明不论,x y 为何值时,代数式224614xy x y ++-+的值总是正数. 分析：本题实质就是证明2246140x y x y ++-+>.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的．解: 224614xy x y ++-+ =2244691x x y y +++-++=22(2)(3)1x y ++-+∵2(2)x +≥0,2(3)y -≥0, ∴22(2)(3)1x y ++-+>0.即代数式224614x y x y ++-+的值总是正数.平方差公式专项练习题A 卷：基础题一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a） D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．B卷：提高题一、七彩题1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5．下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 3=3a 6B ．（－a ）3·（－a ）5=－a 8C ．（－2a 2b ）·4a=－24a 6b 3D ．（－13a －4b ）（13a －4b ）=16b 2－19a 2 6．计算：（a+1）（a －1）=______．C 卷：课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3，（1－x ）（•1+x+x 2+x 3）=1－x 4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n ）=______．（n 为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n =______（n 为正整数）．③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a －b ）（a+b ）=_______．②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______．③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有: ab b a b a 2)(222-+=+ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。