2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1•计算 4,3 2,2.41 24.2（） （A ） .2 1 （ B ）1 （ C ）、.2（ D ）2m 2 m 22•满足等式2 m 1的所有实数m 的和为（）（A ）3（ B ）4 （ C ）5 （ D ）6D ，若 CD 3， 则 AB=（ ）(A )2 (B ) J6( C )2.2(D )324•不定方程3x 7xy 2x 5y 17 0的全部正整数角（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称 ）（C ） 2013 （ D ） 2014二、填空题（本题满分 28分，每小题7分）1•已知实数 x, y,z 满足 x y 4, z 1 xy 2y 9,则 x 2y 3z __________________32•将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n （n 2）个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= ________3•在 VABC 中，A 60°, C 75°, AB 10 ,D, E, F 分别在 AB , BC , CA 上，则 VDEF 的周长最小值为 ______3•已知AB 是圆O 的直径,C 为圆O 上一点,CAB 15°, ABC 的平分线交圆 O 于点x,y ）的组数为（5矩形ABCD 的边长 AD=3，AB=2， E 为AB 的中点,F 在线段 BC 上，且 BF : FC=1 : 2，AF 分别与DE ，DB 交于点 M ，N ，贝U MN=（ (A )出(B )出714(C )出28(D)1K5 286•设n 为正整数，若不超过 所有“好数”之和为（ （A ） 33（ B ） 34n 为“好数”，那么,2 2 24•如果实数x, y, z 满足xy z xy yz zx 8，用A 表示|x y ，y z ，z x 的最大值，则A 的最大值为 __________第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2 ad be 2 6,求 a 2 b 2 c 2 d 2 的值。
9 PR于点P ，连AC ，若0P 2AC ，求 -的值。
、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程x 2 x 1 等式at m bt m 31m 成立，求ab 的值。
、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆 O 上，过点B 、C 作圆0的切线，交0的一个根，若正整数a,b,m 使得(1) 0I // BC;(2) SAOCS AOB 2S AOI 。
三、（本题满分25分）若正数a, b, c满足b2 c2 a2 2bc c2 a2 b22caa2 b22abc2b2求代数式—c2a2c2 a2b2a2 b2 c22bc 2ca 2ab 的值。
第二试（B）（本题满分20分）已知t 2 1，若正整数a,b,m使得等式at m bt m 17m 成立，求ab的值。
ABC中，AB>AC，0、I分别是ABC的外心和内心，且满足AB-AC=20l。
求证:、（本题满分25分）在A3,2013年全国初中数学联合竞赛试题解析说明：评阅试卷时，诸依据本评分标准•第一试，选择题和填峭题只设7分利。
分两档；鄭二试备题，请按照本评分标准规定的评分档次给分如果苦生的解答方法和本解答不同.只耍恩路合理,步骤正确，在评卷时诘参照本评分标准划分的梢挟.给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1•计算4,3 2.2 .41 24 2 （B）（A）.2 1 （B）1 （C）、、2 （D）24 正・J41 + 24运二4（运+1）一（3 + 4近）* 1.m2m 22•满足等式2 m 1的所有实数m的和为（A）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6肖2-加二1即用=1时，满足所给等式；肖2—也=-1即m-3时.（2-^^2=（-1）4= 1,满足所给第式;当2-m^±1即粧工1且册韭3时，宙已蚓等式可得：m2-m-2 = O且2-朋北0,解得m = -l.闵此滿足等式（2-rn）ml~m2 =1的所有实数册的和为1 + 3 + （-1） = 3•3•已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CAB 15°, ABC的平分线交圆O于点D，若CD '、3，则AB= （A）（A）2 （B）、、6 （C）2.2（D）3连接OC,竹：OM 丄CD 丁点则可^ZOCAf = 45O-15°= 30% 所以CM-—OC,所^AB = 2OC = ~CM = 4=CD = 2.2V3 ^/3AD24•不定方程3x 7xy 2x 5y 17 0的全部正整数角(x,y )的组数为(B )(A ) 1(B ) 2(C ) 3(D ) 4* 又兀为正鞍数，所以体三 1.从而7托—5町即亠疔+益+ 17巨7耳-5+所l^3x J +5x<22t 所以只可能"1或"2.^x = l 时，可得尸議8：当时*可14y = L因此，不定方3x 2 + 7xy-2x-5y-17^ 0的全部正鳞数解任丿)有两组S 8)和(2,"-5矩形ABCD 的边长 AD=3 , AB=2 , E 为AB 的中点，F 在线段 BC 上，且BF : FC=1 : 2, AF 分别与DE ，DB 交于点 M , N ，贝U MN= (C )/八3亦 5丘9.5 11^5 (A)(B )(C ) —(D )-7 142828BFC【答】(C) +易知也BNF s HDNA 、所以空=竽所以== M 川F . AN ND AD 33 厚延氏DEH 点G 则心他S AFMG,所以豐^ 卷=¥，=^-FM = -AF .rM FG 44 f6•设n 为正整数，若不超过 n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称 n 为“好数”，那么, 所有“好数”之和为(B ) (A ) 33( B ) 34(C ) 2013( D ) 2014冈为1既不是质数也不是合所订“好数"一宦是奇数•设不超过丹的正楼蠱中硕数的牛数为碍・律数的『数为鳥，当丹£】5时・列表如卜「只考虑丹为奇数的情况”________________ _ ____________________ __ ____ 一一一n 1 3 5 7 911 1315 %0 23 4 4 56 61245&B国此 MN = AF-AM - FN =AFA AF A AF =±AF ^AB ^B ^9>/5~WA D显無.I* 9- lb U是好数.闵为站-如=2’ ^n>16时.在"I,的基础上*毎瞎加两个数，其中必有-■个为隅蠶，艸悠是合甦・也離是说，增加的合数的个数平会少于増力口的质数荊亍数「所以-淀冇戈-% 22,故当”狂】6时，丹不可能是“好数” •因此，所有“盯数"Z利为1+9+11 + 13=34.二、填空题(本题满分28分，每小题7分)1•已知实数x, y, z满足x y 4, z 1 xy 2y 9,则x 2y 3z 4由x + y = 4^ x - 4 —y ,代入 | z + 11= xy + 2y-9得 | z卡I j= 6j^ - y2- 9 - -(^-3)2，所以芯=T , y-3 ,x= 1 > AKffU x + 2j + 3z = 4 .2•将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n 3( n 2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8只有一亍面染红色的小正方体的总數为6(n-2)3个，任何面均平是红色的小正力体的总数対(冲-2尸个,由题意^\6(n^2)2 =(«^2)\ ^^rt = S.3•在VABC 中，A 60°, C 75o, AB 10 ,D, E, F 分别在AB , BC , CA 上，则VDEF的周长最小值为_ 5、、6_作巨E关于AB*的对称点户"Q .连接AE, AP. AQ、DP , FQ, PQ,咖三力0 =【2俨』且AP^AQ=AE t柞AHJ.BC?点H一那么，^DEF的周氏1=DE+DF+EF=FD+DF+FQ^FQ=H P =^AE3®H,而= WcosZa = 10cos45°-572・所IU/>73 -5^2 = 5^6・肖且仅当点E与点用巫令・RF、D*F、Q四点JE线时取得需号.4•如果实数x, y, z满足x2y z xy yz zx 8，用 A 表示|x y , y z , z x 的4 6最大值，则A的最大值为_—3 —由已知轴式得（工一刃：+（7-2）2十（—耳『=16.不妨设A=\x-y\.则才=[(y-z) + (^-x)]: <2[(j-z)3 +(z-x)2J = 2[16-(jr-^)2] = 2(16-/i")(4 衙4^6所以* 的垠大值—-当| x-y|=——, |>-zH^-^1=■sJ1J第二试（A）2 2 2 2 2一、(本题满分20分)已知实数a,b,c,d满足2a 3c 2b 3d ad be 6,求a2b2c2d2的值。
解：设m a2 b2, n c2 d2，则2m 3n 2a2 2b2 3c2 3d2 12.「，22 2因为2m 3n 2m 3n 24mn 24mn,即122 24mn，所以又因为m n 2 . 2 2d a c b2d2a2d2b2c2a b c.2 2 2222ac bd ad bc ad bc 6 ........................由①,②可得mn 6.即a2b2c2d2注：符合条件的实数a, b,c,d 存在且不唯3，5把m 6代入可得ab 31m m 2150.二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆0上，过点B 、C 作圆0的切线，交9PR于点P ,连AC ,若OP AC ，求 的值。
2AC解：连0C ,因为PC , PB 为圆0的切线，所以/ POC= / POB 又因为 OA=OC 所以/ OCA=/ OAC又因为/ COB M OCA 丄 OAC 所以 2 / POB=2/ OAC 所以/ POB=Z OAC 所以 OP// AG 9又OP —AC , AB=2r , OB=r （r 为圆O 的半径），代入可求得2 2OP=3r,AC= r.3在RtVPOB 中，由勾股定理可求得 PB ■■一OP 2 OB 22、、2r 。