必然事件——全体样本点组成的事件,记 为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
基本术语 对某事物特征进行观察, 统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示
可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果
试验前不能预知出现哪种结果
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间 记为(或S)
样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为 样本点(or基本事件) 常记为 ， = {}
小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).
对本定义的评价
优点：直观 易懂
缺点：粗糙 不便 模糊 使用
概率的公理化定义
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫
哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.
设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：
① 震级 7 级以上 ② 死亡 5000人以上
时间
地点
级别 死亡
1905.04.04 克什米尔地区
8.0
1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4
1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛
1920.12.16 中国甘肃
8.6
1923.09.01 日本关东地区
7.9
1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5
AB —— A 与B 互斥 A
A、 B不可能同
时发生
B
A1, A2 ,, An 两两互斥 Ai Aj ,i j,i, j 1,2,,n
A1, A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , AB
B A
—— A 与B 互相对立
88 万 2万 1.5 万
10 万 14.2 万 5万
时间
地点
级别 死亡
1948.06.28 1970.01.05 1976.07.28 1978.09.16 1995.01.17 1999.08.17 2003.12.26 2004.12.26
日本福井地区
7.3
中国云南
7.7
中国河北省唐山 7.8
P( A B) P( A) P(B)
推广：
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B) P(AC) P(B C) P(A B C)
例 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率
A
每次试验 A、 B中
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组 n
若 A1, A2,, An两两互斥，且 Ai
则称 A1, A2,, An为完备事件组 i1
或称 A1, A2,, An为 的一个划分
乘法原理在排列和组合的问题中被广泛的使用。
加法原理：如果完成一个过程有n类方法，第一类
方法有m1种不同的做法，第二类方法有m2种不同的 做法，……第n类方法有mn种不同的做法，则完成这 一过程有m1＋m2＋……＋mn种做法。
加法原理在概率问题中被广泛的使用。
排列 从 n 个不同的元素中取出 r个 (不放
解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
(1) P(AB) P(A)P(AB) 0.70.10.6
(2) P(AB) P(A) P(B)P(AB) 0.8
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下P(A∩B) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？
AB
2. 事件的相等
AB AB 且 B A
3. 事件的并(和)
AB 或AB —— A 与B 的和事件
A B 发生 事件 A与事件B 至
少有一个发生
A
AB B
n
A1, A2 ,, An 的和事件 —— Ai
i1
A1, A2 ,, An , 的和事件 ——
Ai
i1
4. 事件的交(积)
A B 或 AB
A1
An
A2 A3
An1
运算律 事件 对应 集合
运算
运算
吸收律 A A A
A A A
A (AB) A A(A B) A
重余律 A A
幂等律 A A A A A A
差化积 A B AB A(AB)
交换)
随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B…E… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
E1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
S1 {0,1,2,3}
有限样本空间
E2 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 S2 {0,1,2,3,, N }
事件 A, B互斥，则
非负性 归一性
fn(A B) fn(A) fn(B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
lim
n
fn ( A) P( A)
稳定性
某一定数
频率稳定性的实例
蒲丰( Buffon )投币
投一枚硬币观察正面向上的次数
n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 皮尔逊( Pearson ) 投币
n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005
频率的应用
当试验次数较大时有
事件发生
的概 率
事件发生 的频 率
根据如下百年统计资料可得 世界每年发生大地震的概率
近百年世界重大地震
“重大”的标准
若 A B P(B A) P(B)P(A)
P(A) P(B)
对任意两个事件A, B, 有
P(B A) P(B) P( A B)
A
A∩B
B=A∩B+(B – A)
B - A∩BB
P(B)=P(A∩B) + P(B – A∩B)
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
4
则 A Ai i 1
P(
Ai
)
3! 4!
1 4
,
i＝1时，表示1号 球放入1号盒，其
伊朗塔巴斯镇地区 7.9
日本阪神工业区 7.2
土耳其伊兹米特市 7.4
伊朗克尔曼省
6.8
印尼苏门答腊岛附近海域 9.0
0.51 万 1万 24.2 万 1.5 万 0.6 万 1.7 万 3万 15 万
世界每年发生大地震概率约为14%
概率的定义
概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次
试验中, A 发生的频率fn(A)稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越
( AB )C A(BC )
分配律 (AB)C (AC)(BC)
A (BC) (A B)(A C)
德摩根律 AB A B
n
n
Ai Ai
i1
i1
AB AB
n
n
Ai Ai
i1
i1
B A
分配律
图示
C
A(BC)
( A B)(A C)
B
A
C
例2 用图示法简化 (AB)(AB). AB
A ,B ,C 都不发生——
A B C ABC
A ,B ,C 不都发生——
ABC A B C
例5 在图书馆中随意抽取一本书，
事件 A 表示数学书， B 表示中文书， C 表示平装书.