为外生解释变量向量。记工具变量为 x1 z2 ，其中
z2为方程外的工具变量。在2SLS的第一阶段回归中
x2
OLS
x1，z
2，其R
2包含了内生变量x
与工具变
2
量z 2相关性的信息，但也可能由于x 2与x1的相关性造
成。
为此，应该使用滤去x1影响的“偏R2”（partial R2）
记为R
2 p
具体操作步骤如下：首先作x2对x1回归，
x2
OLS
x1，记其残差为e
x
，代表x
2
2中不能由x1解
释的部分；其次，作z2对x1回归，z2 OLS x1，记
其残差为ez2，代表z2中不能由x1解释的部分；最后
对两个残差进行回归，即ex2
OLS
e
，所得的判
z2
定系数即R
2p，若其较小即可认为z
是弱工具变量
2
判断弱工具变量的另一个方法是，在第一阶段回
一、工具变量法（Instrumental Variable，IV）
可以引入工具变量w
来解决内生变量问题。一个有
t
效的工具变量应满足以下两个条件：
（1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即
Cov
w
t，p
t
0，p
为内生解释变量
t
（2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即
Cov wt，t ＝0
二、工具变量法作为一种矩估计
n i=1
xi yi ＝
XX
－1 Xy＝ˆOLS
显然这就是OLS估计量
2、工具变量法作为一种矩估计
假设回归模型为
yi＝1x
＋
i1
＋k-1x
＋ i，k-1
k
x
ik＋
i
假设只有最后一个解释变量xik为内生变量，即
Cov xik，i 0，因此OLS是不一致的。
假设有一个有效工具变量w满足Cov xik，wi 0
能成立是由于Xˆ Xˆ ＝PX PX＝XPPX＝XPX
＝PX X＝Xˆ X，其中，投影矩阵P为对称幂等矩阵
即P＝P，P2＝P。因此，可以将ˆIV视为把y对Xˆ 进行
OLS回归而得到，故名“二阶段最小二乘法”
注意，第二阶段回归所得到的残差为e2 y－Xˆ ˆ2SLS 而原方程的残差却是e y－Xˆ2SL（S 这是正确的）
消费、投资、净出口。将第一个方程代入第二个
方程，经整理可得Yt＝1－11 0＋It＋Xt ＋1－ t1
可见Yt与 t 相关，因此当单独对Ct＝ 0＋1Yt＋ t
进行OLS估计时会碰到解释变量与扰动项相关的 情况
违背解释变量外生性假定也可以出现在滞后被解 释变量作为模型解释变量的情况。例如，消费不 仅受收入的影响，还要受到前期消费水平的影响； 投资不仅受GDP的影响，也要受前期投资水平的 影响。当存在扰动项序列相关时，就会造成解释 变量与扰动项相关的情况
变量与扰动项的正交性，可以得到以下总体矩条件
Exii ＝0 E xi yi－xi ＝0
E xiyi ＝E xixi ＝E xixi －1 E xiyi （假设E xixi 可逆）
以样本矩替代上式中的总体矩，即可得到矩估计：
ˆMM＝
1 n
n i=1
xi
xi
－1
1 n
量估计量：
ˆIV＝
1 n
n i=1
zi xi
－1
1 n
n zi yi ＝
i=1
ZX
－1 Zy
其中，Z z1 zn-1 zn 即Z z1 zn-1 zn
下面是工具变量法的大样本性质：
定理：若秩条件r E zixi ＝k成立（方阵E zixi 满
秩），则在一定的正则条件下，ˆIV是的一致估计 且ˆIV服从渐近正态分布
其中，P Z ZZ－1 Z为Z的投影矩阵。写成矩阵形式
Xˆ xˆ1 xˆ 2 xˆ k ＝P x1 x2 xk ＝PX
＝Z
ZZ
－1
ZX
第二阶段：由于Xˆ 是z1， ，zL的线性组合（参见
第一阶段回归），故Xˆ 恰好包含k个工具变量。使用
Xˆ 为工具变量对原模型y＝X＋ 进行工具变量法估
计： ˆIV＝ Xˆ X －1 Xˆ y＝ Xˆ Xˆ －1 Xˆ y 后一个等号
秩条件r
E
zi
xi
＝k意味着工具变量w
与内生解释
i
变量xi相关，若不相关，则秩条件无法满足。证略
阶条为三种情况：
1 不可识别：工具变量个数少于内生解释变量个数
2 恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数
3 过度识别：工具变量个数多于内生解释变量个数
1、检验工具变量与解释变量的相关性
如果工具变量z与内生解释变量x完全不相关，则
无法使用工具变量法，因为E zixi 不可逆。如果 z与x仅仅微弱相关，则可认为E zixi －1 很大，导
致工具变量法估计量的渐近方差AVar ˆIV ＝
E zixi －1 S E zixi －1 非常之大。直观上看，由
1 n
1 n
n i=1
xi＝ˆ
n
xi2＝ˆ 2＋ˆ 2
i=1
ˆ＝x
ˆ
2＝
1 n
n i=1
xi－x 2
其中，x＝ 1 n
n i=1
x
为样本均值，上面推导中用到：
i
n
n
xi－x 2＝ xi2－nx2
i=1
i=1
任何随机向量x的函数f x的期望E f x 都被称为
总体矩。事实上，OLS也是一种矩估计。利用解释
第七章 工具变量、2SLS、 GMM
OLS估计成为一致估计量的前提是解释变量与扰动 项不相关（即前定变量假设），否则，无论样本容 量多大，OLS估计量也不会收敛到参数真值，这将 难以接受。解决方法之一是本章介绍的工具变量法
复习第三章p34－p38
违背前定变量假设可以出现在联立方程中，比如
CYt＝t＝C0＋t＋I1tY＋t＋Xt t ，Yt、Ct、It、Xt分别表示GDP、
第一阶段：将每个解释变量x1， ，xk分别对所有L个
工具变量z1， ，zL作OLS回归，其中
xi x1i
x ni
n1
，i＝1，
，k（注意，不同于第二章
对第i个观测数据x
i的定义）。相当于将x
视作被解释
i
变量。得到拟合值xˆ 1＝Px1，xˆ
2＝Px
，
2
，xˆ k＝Pxk
即xi到Z上的投影
（相当于y对X求回归拟合值yˆ ＝Py，即y到X上的投影）
于z中仅包含很少与x有关的信息，利用这部分信息 进行的工具变量法估计就不准确，即使样本容量很
大也很难收敛到真实的参数值。这种工具变量称为
弱工具变量，将使ˆIV的小样本性质变得很差，且基
于大样本理论的统计推断失效
判断弱工具变量的方法主要有两种。
方法之一为使用“偏R 2”。假设回归模型为
y＝x1 1＋x 2 2＋，其中只有x 2为内生解释变量，x1
可以证明，ng d N 0，S，
其中S E gigi ＝E i2zizi
进一步，工具变量估计量ˆIV渐近服从正态分布，即
n ˆIV－ ＝S－ZX1 ng d N 0，AVar ˆIV ，其
中渐近方差矩阵AVar
ˆIV
＝
E
zi
xi
－1
S
E
zi
xi
－1
用到 E zixi －1 为对称矩阵
2、检验工具变量的外生性
在恰好识别的情况下，目前公认无法检验工具变量 是否与扰动项相关。在这种情况下，只能进行定性 讨论或参考专家的意见。
在过度识别的情况下，则可进行过度识别检验，即
检验原假设“H
：所有工具变量都是外生的”。如
0
果拒绝该原假设，则认为至少某个工具变量不是外
生的，与扰动项相关。
假设前k-r个解释变量x1， ，xk-r为外生解释变量 而后r个解释变量x ， k-r＋1 ，xk为内生解释变量。假 设共有m个方程外的工具变量z1， ，zm，其中m>r
归中，x2＝x11＋z2 2＋error，检验原假设 H0： 2＝0
一个经验规则是，如果此检验的F统计量大于10， 则可拒绝“存在弱工具变量”的原假设，从而不必 担心弱工具变量问题。在多个内生解释变量的情况 下，将有多个如此的第一阶段回归和F统计量
解决弱工具变量问题的方法是寻找更强的工具变 量或若有较多工具变量，可舍弃弱工具变量
以上介绍的工具变量法仅适用于恰好识别的情况。
在过度识别的情况下，ZX不是方阵， ZX－1 不存在
无法得到工具变量估计量ˆIV。
若扔掉多余的工具变量将会浪费有用的信息，有效 的方法是二阶段最小二乘法
三、二阶段最小二乘法
显然，多个工具变量的线性组合仍然是工具变量 因为仍满足工具变量的两个条件（相关性与外生性） 如果生成工具变量的k个线性组合，则又回到恰好 识别的情形。那么什么样的线性组合才是最有效率 的呢？可以证明在球形扰动项的假设下，由二阶段 最小二乘法（2SLS）所提供的工具变量线性组合是 所有线性组合中最渐近有效的。这个结论类似于小 样本理论中的高斯－马尔可夫定理。
把工具变量法的残差对所有外生变量（即所有外生
解释变量与工具变量）进行以下辅助回归：
ei,IV＝
1x
＋
i1
＋ k-r xi,k-r＋1zi1＋
＋ m zim＋errori
将工具变量法的残差ei,IV视为对扰动项的估计，则
“扰动项与工具变量z1， ，zm无关”的原假设可
以写为“H0：1＝
＝
＝0?
m