第2章模数转换和数模转换现实中大多数信号都是模拟信号，而数字信号更适合计算机处理。

本章研究模拟信号转换为数字信号的步骤，也将讨论如何把处理过的数字信号还原为模拟信号。

本章内容包括：¾介绍完整DSP系统的组成¾介绍模数转换中采样的重要组件¾定义信号的最小采样率¾讨论较慢采样的影响¾介绍较快采样的好处¾解释模数转换中量化的必要性¾计算量化引起的误差¾说明模数转换的步骤¾说明数模转换的步骤2.1 简单的DSP系统数字信号处理实质上是数字信号的变换。

可计数的信号(如一年内的雨天)可直接用数字信号表示。

通过人们感官感觉到的所有信号都是模拟信号，不论语音、音乐或图像。

这些模拟信号在进行处理之前，都必须转换为数字信号。

遗憾的是这种转换绝非理想，而且数字信号不能完全代表相应的模拟信号。

它们之间的差异是转换过程的副作用，这一点本章也将进行讨论。

一旦找到非常接近模拟信号的数字信号，就可进行数字信号处理。

例如，可以滤除语音中的高频噪声、加重音乐中的低频、突出图像中的边缘等。

由于数字信号不能在模拟的世界中存在，所以处理过的数字信号在处理过程结束时，还必须再转换成模拟信号。

图2.1说明了数字信号处理过程中的主要部分。

其中第一个和最后一个方框的内容将在后续几节讨论。

2.2采样2.2.1奈奎斯特采样理论模拟信号在所有时间点都有定义，要处理模拟信号，就要处理无限多的信息。

信号处理主要依靠计算机，而计算机不能容纳无限多的数据。

采样解决了这个问题，它将要处理的数据减少到可处理的程度。

图2.2表示了模拟信号的例子，此信号表示为x(t)(t表示时间)，该记号表示在每个时刻都有值。

图2.3是与模拟信号相对应的采样保持信号。

这里，每个采样值都是模拟信号以固定的采样间隔进行采样得到的。

与图1.6相比，图2.3假设每次的采集时间可忽略不计。

如果假设量化误差也可忽略不计，则由采样保持信号得到的数字信号如图2.4所示。

数字信号表示为x[n]，n是采样时刻，表示数字信号的值仅在每个采样点上，而不在采样点之间。

采样间隔(sampling interval)，或称采样周期(sampling period)，是相邻采样点之间的时间，单位为秒。

采样频率(sampling frequency)，或称采样速率(sampling rate)，是每秒的采样点数，单位为赫兹。

所以：图2.4中，每个采样点的数字信号值都用竖线上加小圆圈表示。

原模拟信号和对应的采样数字信号都给出了信号的时间信息。

因此，它们都是时域描述：表示信号随时间的变化。

一组采样值怎样能惟一地表示模拟信号，这一点从图2.4不能明显看出。

例如图2.5，在所示的采样点，两个模拟信号可能产生同一组采样值。

由此可见，采样频率足够大时，模拟信号就与给定的一组采样值一一对应。

只要选择正确的采样间隔，模拟信号就完全可以由它的采样值恢复，采样定理(sampling theorem)(由奈奎斯特发现)保证了这一点。

正确的采样间隔取决于被采样信号的特性。

根据奈奎斯特理论，最大频率为W Hz的信号，至少要以每秒2W次的采样率进行采样，才可能由采样值恢复原来的信号。

最小采样频率称为奈奎斯特采样率(Nyquist sampling rate)。

例如频率等于20 kHz的信号至少要以40 000次／秒的速率进行采样。

信号的奈奎斯特采样率是40 kHz。

另一方面，奈奎斯特频率(Nyquist frequency)指的是系统采样速率的一半。

零到奈奎斯特频率的范围称为奈奎斯特范围(Nyquist range)。

图2.4用的采样速率正好选的是图2.2中模拟信号最大频率的两倍。

最大频率决定着信号在时间上的最大陡度。

图2.5中的信号明显比图2.2中的信号包含的频率分量高，陡峭的信号变化就说明了这一点。

图2.4中所用的采样速率不足以采样图2.5中的任何一个模拟信号。

较高的频率分量意味着要选择较高的采样频率，以获取将足以恢复原来信号的一组采样值。

采样速率太低，产生这些采样值的模拟信号就会有不确定性。

模拟信号#1和模拟信号#2只是可以产生图2.5中采样值的两个信号。

然而当采样频率足够高时，源信号就可以惟一确定：只有一个信号能产生所给的一组采样值。

图2.6清楚地描绘了欠采样的时域效应。

这里信号频率从10 kHz到80 kHz，采样频率为40 kHz，采样点对所有信号是一致的，用虚的竖线表示。

根据奈奎斯特采样定理，只有频率不大于20 kHz的信号通过40 kHz的频率进行采样，才可以完全恢复。

当然30 kHz的信号也可以用40 kHz的频率进行采样，但是这个不足的采样点描绘出的是看起来频率为10 kHz的信号。

对40 kHz的信号，采样值在一条水平线上。

对更高频率信号也同样：呈现的频率不超过(奈奎斯特频率)20 kHz，这就是混叠现象。

高于奈奎斯特频率(采样速率的一半)的频率将折返并还原成低频信号。

一旦系统的采样频率选定，就要采取措施以确保大于奈奎斯特频率的频率分量将从系统中排除，许多信号包含噪声或其他次要的高频分量，在采样前要将它们消除，如图 2.7(a)频谱所示。

这就是图2.1和图2.7(b)所介绍的抗混叠滤波器(antialiasing filter)的作用。

这个滤波器从要被采样的信号中消除了所有超过奈奎斯特频率的信号分量，以确保奈奎斯特采样将足以完整地记录信号。

同时，消除了所有超过奈奎斯特频率的噪声，防止高频噪声对有用信号的干扰。

图2.7(c)是滤波后的信号频谱，这样可以用每秒2W个采样点的速率进行采样。

2.2.2从频率角度看采样模拟信号不论是否通过滤波，只要具有可确定的最大频率，那么这个模拟信号就称为带限(band-limited)信号，图 2.8.(a)和(b)表示了这样的信号及其频谱。

信号的最大频率在频谱上表示为W Hz。

图2.8(c)表示了这个信号的双边频谱，它把单边频谱镜像地放在0 Hz 轴的左边。

结果，这个频谱位于-W与W Hz之间。

虽然负频率没有物理意义，但可用来说明采样在频域里的作用。

如前节所述，对模拟信号进行采样，在时域里得到一系列采样值，而采样在频域里同样也有很明显的作用。

图2.9(a)描述了信号的双边频谱，图2.9(b)描述了同一信号以三种不同采样速率进行采样后的频谱。

采样的结果，原双边信号频谱的副本[称为镜像(image)]位于采样频率的倍数处，即位于0，±fs，±2fs，土3fs，…。

附录K对此给出了数学解释。

注意，在频谱对称地向正负频率延伸的意义上，采样信号的频谱也是双边的。

图2.9(b)中三个不同的频谱只是采样频率。

fs与信号最大频率W之间的关系不同。

由此可以理解奈奎斯特采样率。

当fs>2W时，原频谱的副本不发生重叠，而fs<2W时，就会出现重叠。

在重叠的地方，频谱分量相加，如图2.9(b)(iii)中的虚线所示。

条件fs=2W标志着临界情况，即奈奎斯特采样率。

当由采样值恢复原信号时，重叠的问题就很重要。

它可以通过低通滤波来解决。

图2.1中，低通滤波器看成是抗镜像滤波(anti-imaging filter)，低频可以通过，而高频分量被衰减，因为信号的重要频率分量都小于W Hz，抗镜像滤波器的截止频率必须不小于W Hz，目的就是从频域里的所有镜像中选出与原频谱相符的频谱。

这种滤波器就是由滤除镜像而得名。

滤波器在滤除不必要的高频信号的同时，也滤除了带外噪声。

图2.9(b)中虚线框表示低通滤波器形状，可以用来完成这个任务。

图 2.9(b)(i)中， fs>2W，用下降斜度相对较缓的滤波器就可以很容易地选出原频谱。

对时域而言，这意味着原信号可由采样值完全恢复。

在图2.9(b)(ii)中，只有在1/2采样频率处截止并有无限尖锐滚降的理想低通滤波器，才能提取出原频谱，然而，这样的滤波器并不存在。

在图2.9(b)(iii)中，没有滤波器能够选出原频谱，这是由频谱镜像的重叠(或混叠)造成的。

混叠时，低通滤波后的信号与原来的信号不同。

从频率图上，很容易明白为什么要求采样频率应大于信号最大频率的两倍：如果这个条件不满足，那么就无法由采样信号恢复原信号。

对正弦波来说，奈奎斯特采样率要求每周(cycle)两个采样点。

在这个最小采样频率下，从采样值似乎无法恢复原信号，如图2.10所示。

每周两个采样点似乎对方波或三角波也同样适合，这样就很难接受奈奎斯特结论。

实际上，所有以相同速率重复的方波、三角波及正弦波的频谱中都具有相同的低频分量，而方波和三角波同时也具有许多高频分量，抗镜像滤波器消除了这些高频分量，仅仅剩下正弦波。

如图2.9所示，采样会导致频谱的镜像出现在采样频率的倍数处。

频率为f的信号，采样后的频谱具有kfs+f Hz的频率分量，其中fs是采样频率，k为所有整数。

这样，采样后的频谱有无限多个镜像。

而抗镜像滤波器就要从这些镜像中恢复信号，不管奈奎斯特采样要求是否满足，都要进行该计算。

不满足要求时，计算给出的是一个混叠频率或许多混叠频率。

例如，图2.1l是以40 kHz采样的两个正弦波的双边频谱，第一个频率为10 kHz，对所选定的采样频率来说低于奈奎斯特频率。

一些镜像位-40±10，0±10和40±10 kHz，或-50，-30，-10， l0，30和50 kHz处，这些频率中只有一个处在0到1/2采样频率范围内，这样，信号频率可正确地确定为10 kHz。

图2.11(b)的第二个正弦波频率为30 kHz，高于奈奎斯特频率，但仍可计算出它的各镜像频率，例如，以40 kHz进行采样，30 kHz的信号产生了许多频率分量，其中有在一40 4-30，0 4-30和40 4-30 kHz处的频率分量，这些频率分量只有一个在0到20 kHz之间的奈奎斯特范围内，所以10 kHz是所还原信号的混叠频率。

注意10 kHz和30 kHz的信号对于40 kHz 的采样频率产生相同的采样频谱，与图2.6所得的结论一致。

从30 kHz信号中恢复的假频是原频率的基带(baseband)副本，这就是说它处于0到奈奎斯特界限之间。

可以通过略微改变采样频率，把它与真实信号区分开来。

通常，如果基带内的峰移动，则它是假频，反之则为真实信号。

镜像频率的计算kfs±f Hz对复杂信号和正弦波同样适用。

图2.9(a)频谱所表示的信号包含0到W Hz之间的所有频率。

这样采样频谱的第一个镜像在fs-W和fs+W Hz之间，第二个镜像在2fs-W和2fs+W Hz之间，依此类推。

若带限信号的范围为W1<f<W2而不是0<f<W，则没有必要以二倍的最大频率或2W2进行采样。