导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim f xx a0及 l im g x 0 ；x a⑵在点 a 的去 心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x) K ;(3) f x liml ,那么x ag xf x f xlim -=lim l 。

x ag xx ag xf x f x lim =lim l 。

x ag x x a g x利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的X — a , x —x 换成 X — +x, X — -X, x a , x a 洛必达法则也成立。

2. 洛必达法则可处理°，—, 0, 1 ,,Q °,型。

3. 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 0 , — , 0 , 1 , ° , 0° , 型定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时 称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使 用，直到求出极限为止。

f(x) 和g(x)在，A 与 A,上可导，且g'(x)工0 ;⑶limx l ,那么xgxf x f xlim =lim l 。

x g x x g x法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim f x及 lim g x(2)在点x ax aa 的去心邻域内，f(x) 与g(x)可导且g'(x) K ;f (3) limxl ，那么x ag x0 及［im g x 0 ; (2) Af 0，和g(x)满足下列条件：⑴lim f xx法则2若函数f(x)二.高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f(x) e x 1 x ax 2。

( 1)若a 0,求f(x)的单调区间；(2)若当x 0时f(x) 0，求a 的取值范围 0，对任意实数a,均在f(x) 0 ；当x 0时，f(x) 0等价于2 . ( 2011年全国新课标理)已知函数，曲线y f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 x 2y3 0。

(I)求a 、b 的值；(U )如果当x 0，且x 1时，f (x)—-，求k 的 x 1 x 取值范围。

(0,1)时，hh x 在0,1上为减函数，在1,上为增函数；故h x >h 1 =0h x 在0, 上为增函数Q h 1 =0 当x (0,1)时，h x 0，当x (1，+ )时,h x 0 当 x (0,1)时，g x 0，当 x (1， + )时，g x 0g x 在0,1上为减函数，在1,上为增函数解：(II )当 x 0时，f(x)xe x 12xxx 1e2(x>0),xx x则 g (x)xe2e 3x 2，令x2e x0，则 h x1， h x XgX 0，0,上为增函数，h x 0 ;知h x 在0, 上为增函数， g x 0， g(x)在 0,上为增函数。

由洛必达法则知，limx 0x e x 1 2xlx^exxlim e 3，故a —综上，知a 的取值范围为解：(II ) 由题设可得，当x0,x 1时，k<空邛1恒成立。

1 令 g (x)=2xln x1 x 21(x0,x1),则 g x2 x x 2 1 ln x x 2 11 x2 2x 2ln x 1x 2 1 ln x x 2 1 ( x0,x1 )2xln x易知h x 2ln x1 —在 0,x上为增函数, 0 ；故当时，h xk 0，即k 的取值范围为(-,0]3.已知函数f(x)=x — (1+a)lnx 在x=1时，存在极值。

(1)求实数a 的值；(2)若x>1,mlnx>f (x)-1成立,求正实数m 的取值范围x-14.已知函数f(x)= e x ,曲线y=f(x)在点(x °,y °)处的切线为y=g(x).(1)证明：对于 x R , f(x) g(x);⑵ 当x 0时，f(x) 1 +总，恒成立，求实数a 的取值范围。

1 xxx 2洛必达法则知小x l n x 切 (2)切？^ ‘ c 1 ln x *1 2呵卞1解：mln xx In x 1x In x 1 m(x 1)ln x(x 1)ln x(x 1)ln x (x 1)ln x1ln xx 1 =g(X)g(x) (l nx )-1+( x-1)1,则 g(x)1 1 x lnx2 (x 1)2x(l nx)2 (x 1)2 x(x 1)(l nx)22 2h(x)= x(ln x) (x 1) h (x)(ln x)22l nx 2x 2,令 r(x) h (x )，贝U r (x)2ln x _2_2x，令 xM (x )= M (x)=:r(x)，2-2x<0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h (x )为减，且x不 存 在 ， 对 g(x) 在 x=1 处g(x)<g(1),而 g(1)g(x)limx 1 x 1 In x(x 1)l nxlimx 1lim ln xx 1xln xlim 11 1，则 m 》1/2.x ln x 1 1 ln 12 21 1/x xh(1)=0,则g(x)为减，这样, 用 罗 比 达 法 则解：分离变量： a e (1 x) (1 x)=h(x),去导数，h (x )=—：1(x>0)，分x x子 r(x)= e x (x 2 x 1) 1 ,(x [0,)，扩展定义域]，求导r (x) e x (x 2 3x ) 0，可知，r(x)为定义域内增函数，而 r (x ) r(0)=0.所以h (x)》0.为增函数。

则a h(0)----不存在,罗比达法则可得为1练习1. 2006年全国2理x >0都有f(x) sax 成立，求实数a 的取值范围.设函数f(x)= (x + 1)ln(x + 1)，若对所有的2. 2006全国1理1 x已知函数f Xe ax . (I)设a 0，讨论yf x 的单调性; 1 x(n)若对任意 x 0,1恒有f x 1，求a 的取值范围.3. 2007全国1理4. 设函数 f(x) e x e x . (I)证明：f (x)的导数 f (x) > 2 ;(n)若对所有 x > 0都有f (x) > ax ，求a 的取值范围.5. 2008全国2理设函数f(x)sinx. (I)求f(x)的单调区间；2 cosx(n)如果对任何 x > 0 ,都有f (x) < ax ，求a 的取值范围.2k n 3,2k n “( k Z )是减函数332xcosx 2sin x sin xcosx x 则 g '(x)-------------- xvcosx? -------------------解：(I) f (x)(2 cos x)cos x sin x( sinx)(2 cosx)22cos x 1 (2 cosx)2当 2k n 2 nx2k n 2n (k Z ) 时，cosx 3 3当 2k n 2 n x 2k n4 n(k Z ) 时，cosx 331—,即 f (x)；2 1，即 f (x) 0.2因此f (x)在每一个区间2k n25,2k n3(k Z )是增函数，f (x)在每一个区间解：(I)略 (n)应用洛必达法则和导数 若x 0 ,则a R ； f(x)sin x 2 cosxax若x 0，贝U —sin x — ax等价于a2 cosxsin xx(2 cosx) ，即 g(x)sin x x(2 cosx)记h(x) 2xcosx 2sin x sin xcosx x ,h'(x) 2cosx 2xsinx 2cosx cos2x 12xs in x cos2x 1 2si n x 2xsinx 2sinx(sinx x)而lim g(x) lim - sin x cosxlim 1x 0 x 0x(2 cosx) x 02+cos x xsinx 3另一方面，当x [, )时，sin x 1g(x)1 1 11-，因此a1x(2 cosx) x 3 36. 2008辽宁理In x 设函数f (x) In x ln( x 1).1 x⑴求f (x)的单调区间和极值;⑵是否存在实数a，使得关于x的不等式f (x)…a的解集为(0, ) ?若存在，求a的取值范围试说明理由.7. 2010新课标理设函数f(x)=e x 1 x ax2. (I)若a 0,求f (x)的单调区间(n)若当x》O寸f (x)求a的取值范围.8 .2010新课标文已知函数f(x) x(e x 1) ax2.解：(I)略(n)应用洛必达法则和导数当x 0 时，f (x) 0，即x(e x 1) ax2.①当x 0时，a R ；②当x 0时，x(e x 1) ax2等价于e x 1;若不存在(I)若f (x)在x 1时有极值，求函数f (x)的解析式; (n)当x 0时, f (x) 0，求a的取值范围ax，也即a227x记 g(x) ex1 , x (0,)，则 g'(x)记 h(x) (x 1)e x xx (0,)，则 h'(x) xe 0，因此 h(x) (x1)e x 1 在(0,)上单调递增，且 h(x) h(0) 所以 g '(x)x0,从而g(x) —在(0,x)上单调递增•由洛必达法则有 x e limg(x) lim - x 0 x 0 x xelim 1，即当x x 0 10 时，g(x)所以g(x) 1，即有a 1 •综上所述，当a 1， x 0 时,f(x)0成立.9. 2010全国大纲理 设函数f (x) 1 e (I)证明：当x 1时, (n)设当x 0时, f(x) f (x)-xx ax 1求a 的取值范围•解：(I)略 (n)应用洛必达法则和导数 由题设x 0 ,此时f (X )0.①当 a 0时，若x ax0， f (x) ②当 a 0时，当x 0时,f(x)，即 1 ax 1 — 不成立; ax1x ；—;1ax 0，则a0,则1 xax 1 等价于，即x ax 1 xxexxe xx 记 g(x) xe -e x1 xe * x ，则 g '(x)2x 2 x xe x e 2e 1 (xe x x)2xe / x(xex 2 X\ e ).记 h(x) e x x 2 2 e x ，则 h'(x) e x 2x e x , h''(x) X " xe+e0.因此，h'(x) e x 2x e x 在(0,)上单调递增，且h'(0)0,所以 h'(x)即 h(x)在(0,)上单调递增，且h(0)0，所以h(x) 0.由洛必达法则有10. 2011新课标理已知函数f(x)色巫 b，曲线y f (x)在点(1,f(1))处的切线方程为x 2y 3 0. x 1 x(i)求a 、b 的值；(n)如果当x 0，且x 1时，f(x) 也仝k ,求k 的取值范围.x 1 x解：应用洛必达法则和导数「x sinx记 f (X)3 ，则f '(x)xi 己 g(x) 3sinx xcosx 2x ，贝U g'(x) 2cosx xsinx 2.因为 g''(x) xcosx sinx cosx(x tanx),g'''(x) xsinx 0，所以 g ''(x)在(0,—)上单调递减，且 g ''(x)0 ,2所以g '(x)在(0,—)上单调递减，且 g '(x)且g(x) 0,故f'(x) 哼 0，因此f(x)x s 3inx在(0,—)上单调递减因此xeg'(x)二 x 2h(x)(xe x)0，所以g(x)在(0,)上单调递增当x(o’?时，原不等式等价于x sinx 3xx叫 g (x )x xxe e lim x ——x 0xe xx xexxex xexxe1-，即当x 20时,g(x)-，即有g(x)-，所以a 2 2-.综上所述，a 的取值范围是(2押题若不等式sinx3ax 对于x (0,3)恒成立，求a 的取值范围.3sin x xcosx 2x4x0 •因此g(x)在(0,—)上单调递减,x x 2229由洛必达法则有通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: ① 可以分离变量；② 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； ②现“”型式子.第三部分：新课标高考命题趋势及方法1.高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作 为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。