几何最值问题一．选择题（共 6 小题）1．（2015•孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一点，则PE+PC 的最小值为（）A．3 B．3C．2D．3考点：轴对称-最短路线问题．分析：由题意可知点 A、点C 关于BD 对称，连接 AE 交BD 于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE+PC 的最小值．解答：解：∵△ABC 是等边三角形，点 D 为 AC 的中点，点 E 为 BC 的中点，∴BD⊥AC，EC=3，连接 AE，线段 AE 的长即为 PE+PC 最小值，∵点 E 是边 BC 的中点，∴AE⊥BC，∴AE===3，∴PE+PC的最小值是3．故选 D．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．2．（2014•鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B 到x 轴的距离分别为10cm 和40cm，B 点到y 轴的距离为30cm，现在在x 轴、y 轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ 的周长最短时，则这个值为（）A．50 B．50C．50﹣50 D．50+50考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：过B 点作BM⊥y轴交 y 轴于 E 点，截取 EM=BE，过A 点作AN⊥x轴交x 轴于 F 点，截取 NF=AF，连接 MN 交 X，Y 轴分别为 P，Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．解答：解：过B 点作BM⊥y轴交 y 轴于E 点，截取 EM=BE，过 A 点作AN⊥x轴交x 轴于F 点，截取NF=AF，连接 MN 交x，y 轴分别为 P，Q 点，过 M 点作MK⊥x轴，过 N 点作NK⊥y轴，两线交于 K 点． MK=40+10=50，作BL⊥x 轴交 KN 于 L 点，过 A 点作AS⊥BP 交 BP 于 S 点．∵LN=AS==40．∴KN=60+40=100．∴MN==50．∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．∴四边形PABQ 的周长=50+50．故选D．点评：本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长．3．（2014 秋•贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD 上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出 A 关于 BC 和 CD 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．解答：解：作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交 BC 于M，交CD 于N，则A′A ″即为△AMN的周长最小值，作 DA 延长线 AH，．∵∠DAB=110°，∴∠HAA′=70°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″，∴∠MAB+∠NAD=70°，∴∠MAN=110°﹣70°=40°．故选 B．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出 M，N 的位置是解题关键．4．（2014•无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 OM、ON 上，当 B 在边ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=．运动过程中，当点D 到点O 的距离最大时，OA 长度为（）A．B．C．2 D．考点：勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．分析：取AB 的中点，连接 OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 OE，利用勾股定理列式求出 DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 O、E、D三点共线时点 D 到点O 的距离最大，过点 A 作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，从而得到点 F 是OD 的中点，判断出 AF 垂直平分 OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 OA=AD．解答：解：如图，取 AB 的中点，连接 OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵三边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D 三点共线时点 D 到点O 的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A 作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即= ，解得DF=，∵OD=3，∴点 F 是 OD 的中点，∴AF 垂直平分 OD，∴OA=AD=．故选 B．点评：本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出 OD 最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．5．（2015•鞍山一模）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上且CE=1，长为的线段MN 在AC 上运动，当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC的值是（）A．B．C．D．1考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：根据题意得出作EF∥AC且EF=，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN=，此时四边形 BMNE 的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．解答：解：作EF∥AC且EF=，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN=，延长DF 交BC 于 P，作FQ⊥BC 于 Q，则四边形 BMNE 的周长最小，由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得 FQ=EQ=1，∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴=，∴=，解得：PQ= ，∴PC=，由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC== ．故选：A．点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出 M，N 的位置是解题关键．6．（2015•江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E 是高线 CD 的中点，以 CE为半径⊙C．G 是⊙C上一动点，P 是AG 中点，则DP 的最大值为（）A．B．C．2D．考点：圆的综合题．分析：根据等腰三角形的性质可得点 D 是 AB 的中点，然后根据三角形中位线定理可得 DP= BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题．解答：解：连接 BG，如图．∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，∴AD=BD=AB=3．又∵CD=4，∴BC=5．∵E 是高线 CD 的中点，∴CE=CD=2，∴CG=CE=2．根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．当 B、C、G 三点共线时，BG 取最大值为 7．∵P 是 AG 中点，D 是 AB 的中点，∴PD=BG，∴DP最大值为．故选 A．点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将 DP 转化为 BG 是解决本题的关键．二．填空题（共 3 小题）7．（2014•江阴市校级模拟）如图，线段AB 的长为4，C 为AB 上一动点，分别以AC、BC 为斜边在AB 的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE 长的最小值是 2 ．考点：等腰直角三角形．分析：设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD= x，CD′=（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．解答：解：设 AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=x，CD′=（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∴当 x 取2 时，DE 取最小值，最小值为：4．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．（2012•河南校级模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点，点 P、Q 为BC 边上两个动点，且PQ=2，当BP= 4 时，四边形APQE 的周长最小．考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题．分析：要使四边形 APQE 的周长最小，由于 AE 与 PQ 都是定值，只需 AP+EQ 的值最小即可．为此，先在 BC 边上确定点 P、Q 的位置，可在 AD 上截取线段 AF=DE=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，则此时 AP+EQ=EG 最小，然后过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点，那么先证明∠GEH=45°，再由 CQ=EC 即可求出 BP 的长度．解答：解：如图，在 AD 上截取线段 AF=DE=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°．设BP=x，则CQ=BC﹣BP﹣PQ=8﹣x﹣2=6﹣x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6﹣x=2，解得x=4．故答案为 4．点评：本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．9．（2013•武汉）如图，E，F 是正方形 ABCD 的边AD 上两个动点，满足 AE=DF．连接 CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是﹣1 ．考点：正方形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质可得 AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB 的中点 O，连接 OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当 O、D、H 三点共线时，DH 的长度最小．解答：解：在正方形 ABCD 中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE 和△DCF 中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG 和△CDG 中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB 的中点 O，连接 OH、OD，则OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD===，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当 O、D、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．（解法二：可以理解为点H 是在Rt△AHB，AB 直径的半圆上运动当O、H、D 三点共线时，DH 长度最小）故答案为：﹣1．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出 DH 最小时点 H 的位置是解题关键，也是本题的难点．三．解答题（共 1 小题）10．（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在 BC 的下方作等边△PBC，求AP 的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点 B 为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点 A 落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP 的最大值是 6 ．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P 为△ABC内部一点，则AP+BP+CP 的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP 的长度；（2）以B 为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C 四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段 A'C 最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．解答：解：（1）如图 2，∵△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA 是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C 中，A′C＜AA′+AC，即 AP＜6，则当点A′A、C 三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP 的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图 3，∵Rt△ABC 是等腰三角形，∴AB=BC．以B 为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P ′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当 A'、P'、P、C 四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段 A'C 最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C 长度即为所求．过 A'作A'D⊥CB 延长线于 D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2 +2 ；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2 （或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．点评：本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．实用标准文档文案大全“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。